Anasayfa
[color=white]ÖNSÖZ
Günümüz teknolojik gelişmelerinde önemli bir yere sahip metal ve özellikle alaşımların, kristal yapı çözümlemesinde kristalografik açıdan yaklaşım oldukça önemlidir. Kristalografik temel bilgilerin görsel, teorik ve deneysel açıdan sunulması öğretim sistemleri için vazgeçilmez bir unsurdur. Bu çalışmam ile Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Kütüphanesinin Katıhal Fiziği açısından teorik ve görsel açıdan zenginleştirilmesi hedeflenmiştir. Ayrıca bu çalışmadan deneysel çalışmalarda da kısmen yararlanılabilir.
Üç boyutlu uzayı tamamen saran kristal yapıların tüm özelliklerinin ortaya çıkarılması, yeni kristallerin üretilmesi, var olan kristallerin nasıl oluştuğunun anlaşılması, kristal yapıların yüzeylerinin nasıl genişlediğinin anlaşılması açısından ve yeni bilimsel gelişmelere adım atılması için sadece kristal yapılar üzerinde çalışma yapacak bir laboratuarın kurulması gerektiği kanaatine vardım. Zira gördüm ki kristal yapılar çok geniş ve çok zengin bir araştırma alanı.
Yeni keşiflere ve bilimsel çalışmalara giden yol elbette ki önce konu hakkındaki teorik bilgiye bilmekten ve sonra onu laboratuarda deneylerle desteklemekten, konu hakkında yeni ve değişik deneyler yapmaktan geçmektedir. Teorik bilgi olmadan deneysel çalışmalar yapmamız imkansız olduğu gibi, deneysiz de teorik bilginin fazla faydalı olmayacağı kanaatindeyim.
Özellikle kristal yapılar gibi karmaşık ve anlaşılması zor olan bu fiziksel çalışma alanının kesinlikle deneylerle daha anlaşılır ve öğrenciler tarafından sevilen bir çalışma alanı haline getirilmesi son derece lüzumludur. Bu açıdan bakıldığında, bu çalışmamın deneysel çalışmalara giden bir vesile olmasını temenni eder, kristalografi alanında çalışan herkese faydalı olmasını dilerim.
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 1.1. Kristal Yapısı. 1
Şekil 1.2. Küp Kafesleri. 3
Şekil 2. 1. Bravais Örgüsü 7
Şekil 2. 2. Yüz Merkezli Kübik Nokta Örgü. 11
Şekil 2. 3. Wigner – Seitz İlkel Hücresi 13
Şekil 2. 4. İki Boyutta Bir Uzay Örgüsünün Örgü Noktaları. 13
Şekil 2. 6. Bir Kübik Yapı İçin Ayna Düzlemleri 16
Şekil 2. 7. Kristallerde Görülen Değişik Sayılı Dönme Eksenleri 18
Şekil 2. 8. Kübik Sistemin Karakteristik Bazı Şekilleri. 19
Şekil 2. 9. Piritin Doğada En Çok Rastlanan Kristal Şekilleri. 19
Şekil 2. 10. Kübik Sistem. Kristal Eksenleri ve Simetrik Eksenler 20
Şekil 2. 12. Kübik Temel Şekilden Bileşik Şekillerin Meydana Gelişi. 20
Şekil 2. 13. Kübik Sistem 21
Şekil 2. 14. Hekzagonal Sistem 21
Şekil 2. 15. Hekzagonal Sistemde Kristal Eksenleri 22
Şekil 2. 16. Hekzagonal Sistemde Simetri Eksenleri ve Düzlemleri 22
Şekil 2. 17. Trigonal (Romboedrik) Sistem 22
Şekil 2. 18. Romboedrik Sistem. 23
Şekil 2. 19. Tetragonal Sistem 23
Şekil 2. 20. Tetragonal Sistem. 24
Şekil 2. 21. Ortorombik Sistem. 24
Şekil 2. 22. Monoklinik Sistem. 25
Şekil 2. 23. Monoklinal Sistem 25
Şekil 2. 24. Bir Kristalde Görülen Eksen Açı İlişkileri 26
Şekil 2. 25. Koordinat Eksenleri Üzerinde Belirtilmiş Parametreler. 27
Şekil 2. 26. Doğrultu İndisleri 30
Şekil 2. 27. Miller İndisleriyle Düzlem Gösterilişi 31
Şekil 2. 28. Örgü Düzlemlerinin Miller İndisleri 31
Şekil 2. 29. Çok Rastlanan Bazı Metallerin Strüktürleri. . 33
Şekil 2. 30. HCP yapı. . 35
Şekil 2. 31. Hekzagonal Sıkı Paket Edilmiş Yapı (HCP) 36
Şekil 2. 32. Yüz Merkezli Kübik 36
Şekil 2. 33. α – Uranyumunun Yapısı 37
Şekil 2. 34. CsCl – NaCl Birim Hücreleri 39
Şekil 2. 35. Metun (CH4) Modelleri 40
Şekil 2. 36. Koordinasyon Numarası 41
Şekil 2. 37. Elmas Yapısı 43
Şekil 2. 38 Koordinasyon Hesaplanması 43
Şekil 3. 39. İkizlenmiş Taneler 49
Şekil 3. 40. FCC Örgüde İkizleme Bandı. 50
Şekil 3. 41. Nokta Hataları 54
Şekil 3. 42. Kenar Dislokasyonuna Ait Kesitin Şematik Gösterimi 56
Şekil 3. 43 Dislokasyon Enerjisi. 57
Şekil 3. 44. Vida Dislokasyonu 57
Şekil 3. 45. Kayma Hareketiyle Dislokasyon Oluşumu 58
Şekil 3. 46. Disl. Civar. Zorlar ve Kristalin Gösterimi 59
Şekil 3. 47. Eğilmiş Küçük Açı Sınırı 60
Şekil 3. 48. Dislokasyon Kayınca bağların Disl. Çizgisi Boyunca Kırılması. 63
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ i
ŞEKİLLER LİSTESİ ii
İÇİNDEKİLER v
BÖLÜM 1 1
1. GİRİŞ 1
BÖLÜM 2 4
2. KRİSTALOGRAFİYE GENEL BAKIŞ 4
2.1. Metallerin Kristal Yapısı 4
2.2. Kristalografik Terimler ve Kavramlar 5
2.2.1. Kristal Sistemleri 5
2.2.2. Örgüler 6
2.2.3. Uzay Grup Gösterimi (Notasyonu) 7
2.2.4. Yapı Prototipi 8
2.2.5. Atomun Konumu 8
2.2.6. Eşdeğer Konumlar 8
2.2.7. Alaşım Kompozisyonunun Etkisi 9
2.2.8. Düzenli ve Düzensiz Süper Yapılar 9
2.2.9. Hücre Başına Düşen Atom Sayısı 10
2.2.10. Kristal 10
2.2.11. Primitif ve Primitif Olmayan Hücreler 11
2.3. Kristallerde Simetri 14
2.4. Kristal Elemanları 16
2.5. Kristal Geometrisi 16
2.5.1. Dönme Ekseni (Simetri Ekseni) 17
2.5.2. Ayna Düzlemi (Simetri Düzlemi) 17
2.5.3. Simetri Merkezi 17
2.6. Doğada Rastlanan Kristaller 18
2.6.1. Kübik Sistem 19
2.6.2. Hekzagonal Sistem 21
2.6.3. Trigonal Sistem 22
2.6.4. Tetragonal Sistem 23
2.6.5. Ortorombik Sistem 24
2.6.6. Monoklinik Sistem 25
2.7. Parametre (Rasyonellik) Kanunu 26
2.8. Kristalografik Doğrultular ve Düzlemler 29
2.9. İdeal Olmayan Kristal Yapılar 32
2.10. Kristal Yapı 32
2.11. Tertip Numarası (Coordination Number) 40
BÖLÜM 3 45
3. BAZI ÖZEL KRİSTALLER VE KRİSTAL KURLARI 45
3.1. Atom Büyüklükleri ve Koordinasyon 45
3.2. Kristal Şekli 47
3.3. İkizleme Kristaller 48
3.3.1. Tavlama İkizlemeleri 49
3.3.2. Deformasyon İkizlemeleri 51
3.4. Kristal Kusurları 52
3.4.1. Sıfır Boyutlu Hatalar 54
3.4.2. Tek Boyutlu Kristal Hatalar (Çizgi Hataları : Dislokasyonlar) 56
3.4.3. İki Boyutlu Hatalar 60
3.4.4. Üç Boyutlu Hatalar 62
3.5. Dislokasyonların Önemi 63
4. KAYNAKLAR 64
BÖLÜM 1
1. GİRİŞ
Kristaller; Valans bağları, her atom için belli sayı ve açıda komşu atomları bir araya getirdiğinden, moleküllerde bir yapı uygunluğu vardır. Böylece, bir lineer polimer boyunca bir tekerrür görülebilir.
Mühendislik malzemelerinin çoğundaki atom diziminde üç boyutlu tekrarlanan bir atom düzeni görülür. Böyle yapılara KRİSTAL denir.
Şekil 1.1. Kristal Yapısı.
Sofra tuzunun küp yüzeyleri. NaCl kristal yüzeyleridir. MgO yapısı da bunun gibidir.
Kristallerdeki üç boyutlu kalıbın tekrarındaki sebep malzeme iç yapısındaki atom koordinasyonudur. Buna ilaveten kalıp bazen kristalin dış şeklini de kontrol eder. Kar kristalinin altı köşeli dış yapısı belki de buna en iyi örnektir. Kıymetli taşların, kuvars (SiO2) kristallerinin ve bayağı safra tuzunun (NaCl) düz yüzeyleri iç kristal düzenlerinin dışta görülen belirtileridir. Her birisinde dış yüzeyler değiştirilse bile iç atom düzeni değişmez. Örneğin, kuvars kristali aşınıp kum haline geldiği zaman kristalin iç yapısı değişmez. Aynı şekilde, kar kristallerinde olduğu gibi kırılmış buz parçalarında da su moleküllerinin hekzagonal (altı köşeli) düzeni vardır.
Kristal yapısında, atom diziminin etkisini göstermek için sodyum klorürü alalım. Na+ ile Cl- ‘ün iyon boyut oranı 0,98/1,91 veya 0,54 dür. Aşağıdaki tablodan görüyoruz ki bu oran koordinasyon sayısı altı için uygundur.
Tablo 1. Atom Koordinasyonu ve Atom Boyut Oranı
Koordinasyon Numarası Minimum Atom Yarıçap Oranı
3 fold 0,155
4 0,225
6 0,414
8 0,732
12 1,0
Şekil 1. 1’e bakarak aşağıdaki hususları belirtebiliriz:
1. Na+ ve Cl- iyonlarından her birisinin altı komşusu vardır (Kalıp üç boyutlu olarak tanımlanırsa).
2. Na+ ve Cl- iyonları sayıları birbirine eşittir (Kalıp tamamlanırsa).
3. Kenar boyları (2r + 2R) olan düzlem yüzeyli küçük bir küp meydana gelmiştir. r ve R Na+ ile Cl- iyonlarının yarı çaplarıdır.
4. “Birim Kafes” adını verdiğimiz bu küçük küpteki kalıp düzeni NaCl ‘ün diğer bütün küpleri için aynıdır. Böylece tekrarlanan birim kafesinin yapı düzenini bilirsek kristal kapı düzenini tarif edebiliriz.
5. Na – Na ve Cl – Cl atomlar arası mesafe her ikisinde de Na-Cl arasındaki mesafenin 2 çarpanı kadar büyüktür. Bu fark önemlidir. Ayrı atomlar arasındaki Coulomb çekici kuvvetlerinin aynı cins atomlar arası Coulomb itici kuvvetlerinden daha yüksek olduğunu gösterir.
Atomların dizimi yedi ana kalıptan birisi şeklinde olabilir. Bu kalıplar, atom düzlemlerinin kesişmesiyle oluşan eşit uzay parçaları biçimleri ile sıkıca bağıntılıdır. Bunların en basit ve düzenli olanı, birbirine dikey birbirinden eşit uzaklıkta üç paralel düzlem sisteminin oluşturdukları küp serisidir. Uzayın bu şekilde bölünmesini Şekil 1.2 ‘de görüldüğü gibi birbirinden eşit uzaklıkta dik açılı eksenlerin meydana getirmesiyle de açıklanabilir.
Şekil 1.2. Küp Kafesleri.
Uzay, Birbirinden eşit uzaklıkta üç takım paralel düzlemler tarafından bölünmüştür. x, y, ve z eksenleri karşılıklı olarak birbirine dikeydirler. Her kesit noktası diğerlerinin eşdeğerindedir.
Yedi ana kalıbı oluşturan uzay bölme metotları Tablo 1. ‘de gösterilmişti.
Düzlemlerin geometrik olarak uzayı bölümünün bütün çeşitleri bu yedi sistem içindedir. Günlük metallerin çoğu (çinko ve magnezyum hekzagonal sistemdedir) ile MgO, TiC ve Ba TiO3 gibi bazı seramik bileşikleri kübik yapıdadır.
Bu anlatılanların her birisi ayrıntılarıyla incelenecektir.
BÖLÜM 2
2. KRİSTALOGRAFİYE GENEL BAKIŞ
2.1. Metallerin Kristal Yapısı
Katıhal fiziğinin başlıca ilgi alanı kristaller ve bu kristallerdeki elektronlardır. Bir kristal kararlı bir ortamda büyümeye başladığında meydana gelen yapı, birbirine özdeş yapıtaşlarının art arda eklenmesiyle oluşur. Bu yapıtaşları tek atomlar veya atom grupları olabilir.
MİNERALLERİN KRİSTAL ŞEKİL 2.LERİ
MİNERALLER
Şekil 2.siz (Amorf) Gizli Kristalli Düzgün Şekil 2.li
(Kriptokristalin) Kristaller
Kristallerin her türlü özellikleri ile kristalografi bilimi uğraşır.
Kristaller yüz, kenar ve köşelerle çevrilidir. Bunlara “KRİSTAL UNSURLARI” denir ve bunlar kristalin atomik iç yapıları ile ilgilidir.
Bir sıvıda, bir eriyikte, bir buharda bulunan bir maddeden bir mineral meydana gelirken, normal koşullar altında billûrlar, karakteristik kristal şeklinde (belli yüz, kenar ve köşeleri olan yani kristal unsurlarını taşıyan bir yapı şeklinde) kristallenmeye başlarlar.
Kristaller yüzlerle çevrilmiş ve bu suretle kenarlar, açılar, köşeler ve kristal şekilleri meydana gelmiş olur.
Kristallerde yüzlerle kenarlar arasında matematik bağıntılar vardır. Bu bağıntıları belirtmek için bir koordinat sistemi kabul edilmiştir. Bunun içinde kristallerin ortasında koordinat eksenleri düşünülmüştür.
Kristallerde, aynı cins yüzlerin aralarında yaptıkları açılar değişmez.
Kristaller simetri elemanları (simetri düzlemi, simetri ekseni ve simetri merkezi) nın adedine ve içlerinde bulunduğu düşünülen eksenlerin durumlarına göre 7 sistemde toplanmıştır. Bunların isimleri ve özellikleri aşağıda kısaca açıklanmıştır. Daha sonraki sayfalarda ayrıntılı şekilde incelenecektir.
Kimyada atom ağırlıkları bir element karakterize ettiği gibi, kristalografide de “Parametre” denilen sayılar aynı işi görür. 7 kristal sisteminde eksenlerin üzerindeki birimler değişiktir. Örneğin kübik sistemde bunlar birbirine eşit, triklinik sistemde farklıdır.
2.2. Kristalografik Terimler ve Kavramlar
Burada açıklanacak terim ve kavramlar kristalografi bilimi ile uğraşanlar tarafından kesinlikle bilinmesi gereken son derece lüzumlu bilgilerdir.
KRİSTAL YAPI : Bir kristalin içerisindeki atomların düzenlenimi, onun kristal yapısı olarak adlandırılır. Bu atomların düzenlenimi uzayı dolduracak aynı birim hücrelerin varlığı ile mümkündür.
BİRİM HÜCRE : Üç boyutlu uzayda kenarları ile kristalin eksenlerini oluşturan bir paralel kenardır. Birim hücre atom düzenleniminin açıklanmasına yarayan bir birimdir. Kristaller, her biri büyüklükçe, şekilce ve yönelimce benzer olan birim hücrelerden oluşur. Bir birim hücre için, örgü sınırlaması simetri düşüncesine ve elverişliliğine bağlı olarak bir dereceye kadar keyfilik taşır.
2.2.1. Kristal Sistemleri
Kristal yapının temel taşı kabul edilen birim hücrelerin kenar uzunluklarına ve kenar eksenler arası açının değerine göre yedi farklı eksen sistemi oluşturulabilir. Bu eksen sistemleri kristalografide kullanılmaktadır. Bunlar: Triklinik monoklinik, ortorombik, tetroponal, hekzagonal, rombohedral ve kübik.
a, b, c kenar uzunlukları (uygun kristal eksenleri boyunca) A0 cinsinden (1A0 = 10-8 cm) ifade edilmektedir. Birim hücrelerin yüzeyleri; yüzeyler b ve c, c ve a veya a ve b eksenlerinden ibaret ise sırasıyla A, B veya C harflerine karşılık getirilir. Eksenler arasındaki açılar alfa (α), beta (β) ve gama (γ) dır.
A yüzeyi ile a ekseninin yaptığı açı α, B yüzeyi ile b ekseninin yaptığı açı β ve C yüzeyi ile c ekseninin yaptığı açı γ ‘dir.
Tablo 2. ‘de eksenler ve açılar ile ilgili bilgiler 7 kristal sistemi için verilmiştir.
Hücrelerin kenar uzunlukları ve açılar genelde ÖRGÜ PARAMETRELERİ olarak adlandırılır.
Tablo 2.
Kristal Sistemi Kenar Uzunluğu Eksenler Arası Açı Örnekler
Triklinik a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 900 K2CrO7
Monoklinik a ≠ b ≠ c α = γ = 900 ≠ β β -S; CuSO4 2H20
Ortorambik a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900 α -S; Ga; Fe3C
Tetraponal a = b ≠ c α = β = γ = 900 β-Sn; TiO2
Hekzagonal a = b ≠ c α = β = 900
γ = 1200 Zn; Cd; NiAs
Rombohedral a = b = c α = β = γ ≠ 900 As; Sb; Bi
Kübik a = b = c α = β = γ = 900 Cu; Ag; Au; Fe
2.2.2. Örgüler
Bir örgü (uzay örgüsü) mükemmel bir kristalde düzenli periyodik noktaların bir dizisidir. Uzayda bu noktalar (örgü noktaları), özdeş kompozisyonlu, özdeş yığılımlı ve özdeş yönelimli atom veya atom gruplarından ibarettir.
Atomlar, taban merkezli yüzey merkezli veya cisim merkezli bir hücrenin her bir köşesinde ve hücre yüzeylerinin öteki rastgele konumlarında veya hücre civarında bulunabilir.
Üç boyutta noktasal simetri grubu 14 farklı uzay örgüsünü öngörür. En genel örgü türü triklinik olup 13 tane de özel örgü vardır. Bunların hepsi kenarların eşit veya eşit olmayan uzunlukları ve eksenler arası açıların bileşimden türetilir.
Şekil 2. 1. Bravais Örgüsü
2.2.3. Uzay Grup Gösterimi (Notasyonu)
Bir kristalin uzay örgüsü ve simetrisinin sembolik bir tanımlamasıdır. Bir uzay grubu için bu gösterim, kristalin simetrisini tanımlayan harf ve sayılardan oluşmuş bir uzay örgüsü sembollerini içerir. Bu simetri gösterimleri burada tartışılmamaktadır fakat çeşitli kitaplarda tanımlanmış olduğunu ve x ışını kristalografisi ile ilgili tablolarda bulunduğunu biliyoruz. Her bir kristal, muhtemel 230 uzay grubundan en az birine aittir.
2.2.4. Yapı Prototipi
Sınıflandırmaya ve kimliklendirmeye yardım için, her bir yapı tipi, o yapıya sahip temsili bir maddenin (bir element veya fazın) adıyla verilmektedir.
Aynı yapı tipi olan birim hücreler, prototipe veya birbirine benzer boyutlara haiz olmayabilir. Çünkü, aynı tipli atomik düzeni olan farklı malzemeler, büyüklükçe farklı atomlara sahiptir. Bu da a, b ve c kenar uzunluklarının farklı olmasına sebep olurlar. Aynı şekilde atomun x, y ve z pozisyon koordinatları farklı malzemeler için değişiktir.
2.2.5. Atomun Konumu
Bir birim hücredeki atom veya örgü noktasının konumu üç koordinatla ifade edilir. Hücrenin bir köşesindeki orijinden atom sırasıyla a, b ve c eksenlerine paralel olan üç uzaklık. Bu uzaklık A0 cinsinden değil de, sırasıyla a, b ve c kenar uzunluklarının kesirleri olarak ifade edilir. böylece ½ , 0, 0, a kenarının ortasında, ½, ½, 0 C yüzünün ortası ve ½, ½, ½ birim hücre hacminin merkezidir. x, y ve z harfleri uygun olmayan kesirlerin koordinatları veya element veya alaşım fazları arasında değişen koordinatlar için kullanılır.
İlkel bir birim hücrenin yalnızca köşelerinde ÖRGÜ NOKTALARI vardır.
Cisim merkezli bir birim hücrenin köşelerinde (0,0,0 noktasında) ve cisim merkezinde (1/2, ½, ½ noktasında) ÖRGÜ NOKTASI vardır.
Yüzey merkezli birim hücrenin köşelerinde ve bütün altı yüzün merkezlerinde ÖRGÜ NOKTALARI vardır. Örgü noktaları: 0,0,0; 0, ½, ½, 0; ½, 0, ½ noktalarıdır.
Bir koordinat için negatif bir değer harfin üzerine bir çizgi konularak belirtilir.
2.2.6. Eşdeğer Konumlar
Her bir birim hücrede, kristal simetrisinden dolayı, eşdeğer olan konumlar vardır. Bu koordinatların özel değerlere sahip olabildiği (1/2, 0, 0) ve ayrıca x, y ve z deki atomlar için çoğunlukla doğrudur. Eşdeğer konumların bir dizisinin her bir noktasında aynı tür atom bulunacaktır (Mükemmel bir kristalde).
Bir örnek olarak, arsenik için hekzagonal hücrelere dayalı hücrede eşdeğer noktalar (0, 0, 0; 1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, 1/3) + 0, 0, z; + 0, 0, z ’dir.
Koordinatların eklenmesiyle elde edilen birim hücredeki altı atom için tam liste 0, 0, z; 1/3, 2/3, 2/3 + z; 0, 0, z; 1/3, 2/3, 2/3 – z; 2/3, 1/3, 1/3 – z ’dir.
2.2.7. Alaşım Kompozisyonunun Etkisi
Genelde bir bileşim örgü parametrelerinin değişmesini sağladığı halde stokiyometrik değerini değiştirmeyebilir. 0, 1/2 , 1/4, 1/8 gibi atom koordinatları genellikle değişmez, ancak x, y ve z değerleri bir faz diyagramının tek faz bölgesi arasındaki bileşimlerle değişebilir.
2.2.8. Düzenli ve Düzensiz Süper Yapılar
Katılar, eşdeğer pozisyonlarda birden fazla atom bulundurabilir. A ve B atomlu bir alaşımda verilen bir atomik pozisyonda bir A atomunun (veya bir B atomunun) bulunma ihtimali alaşım kompozisyonunun bir fonksiyonudur. Basit alaşımlarda bu ihtimal, A atomlarının (veya B atomlarının) alaşım içindeki yüzdesine eşittir.
Şayet A ve B atomlarınca bireysel sitelerin işgali rastgele ise veya yaklaşık öyleyse bu tür katılar DÜZENSİZ dir denir. Bir katının düzensiz olma yatkınlığı yüksek sıcaklıklarda en yüksektir.
Daha düşük sıcaklıklarda A atomlarının bazı konumlara yerleşmesi ve B atomlarının diğer yerlere yerleşmesi yatkınlığı termal itekleme hareketinin rastgele olmasını aşabilir ve kısmi yada tam düzen sağlayabilir. Bu olay meydana geldiğinde birim hücre düzensiz haldekinden daha büyük olur (genellikle bir kenar, ikikenar veya bütün üç kenar boyca ikiye katlanır); bir hücredeki atom sayısı orantılı olarak daha fazlalaşır, kristal düzenli bir SÜPERYAPI veya SÜPER ÖRGÜ diye adlandırılır. Buna bir örnek, β – Cu Zn beta pirinç alaşımı, yüksek sıcaklıklarda düzensiz bcc yapılı A2 tipi sergilerken daha düşük sıcaklıklarda β – Cu Zn olarak gösterilen düzenli bcc yapılı B2 tipi sergiler.
2.2.9. Hücre Başına Düşen Atom Sayısı
Bir birim hücredeki atom sayılarının belirlenmesi için aşağıdaki durumların incelenmesi gerekir:
a. Diğer birim hücreler ile paylaşılan atomlar.
b. Bu atomların her birini paylaşan birim hücre sayısı.
c. Tamamen hücre içinde kalan atomlar.
Hekzagonal kristallerden başka, bir birim hücrenin, her sekiz köşesindeki atomlar, bu köşeyi paylaşan 8 hücre tarafından paylaşılır ve bu yüzden hücre başına bir atom olarak sayılır (1/8 x 8 = 1).
Yüzey merkezli bir hücrede her altı yüzde bir atom vardır. Bu atomların her biri iki hücre tarafından paylaşılır ve bundan dolayı bir yüzdeki bir atom hücre için yarı atom olarak sayılır ve altı yüz için, her hücre başına üç atom demektir. Böylece bir yüzey merkezli hücrenin toplam 4 atomu vardır. Cisim merkezli bir hücre içinse cisim merkezinden bir ve köşelerinden bir olmak üzere toplam iki atom vardır.
Sıkı paket yapılı hekzagonal birim hücrenin her bir köşesindeki atom, temas halindeki altı hücre tarafından paylaşılır. Sıkı paket yapılı birim hücrenin yüzey merkezinde bir atom bulunur. Bundan başka, birim hücrenin her yüzü, hücrede üç atom olacak şekilde konumlanan bir atomun bir parçasını içine alır. Böylece, sıkı paket yapılı hekzagonal birim hücre altı atom ihtiva eder.
2.2.10. Kristal
Bir kristal üç boyutlu uzayda periyodik olarak tekrarlanan atomlardan meydana gelmiş bir katı olarak tarif edilebilir. Böyle olunca kristaller gazlar ve sıvılardan esaslı bir Şekil 2.de farklıdırlar. Çünkü gazlar ve sıvılardaki atomik düzenleme PERİYODİK OLMA esas şartına sahip değildir. Mamafih bütün katılar kristal değildir. Cam gibi bazıları amorftur ve atomların herhangi bir muntazam iç düzenlenmesi mevcut değildir. Hakikatte bir amorf katı ile bir sıvı arasında esaslı fark yoktur. Ve amorf katıya, kristalden farklı olarak “aşırı soğumuş sıvı” gözü ile bakılır.
2.2.11. Primitif ve Primitif Olmayan Hücreler
Herhangi bir nokta örgüde bir birim hücre sonsuz şekilde seçilebilir ve her birim hücre bir yada daha fazla örgü noktası ihtiva edebilir. Şu nokta önemlidir ki bir örgüde birim hücre diye bir şey “mevcut” değildir. Biz bunları hayalimizde tasarlıyoruz ve bu sebeple bize nasıl uygun geliyorsa öyle seçebiliriz . (Şekil 2.1) de gösterilen itibari hücreler sadece uygun oldukları ve örgünün simetri elemanlarına sahip oldukları için seçilmiştir. On dört Bravais örgüsünden herhangi biri için primitif birim hücre seçilebilir. Mesela (Şekil 2.1) de gösterilmiş olan yüz merkezli kübik örgü, kesik çizgilerle gösterilmiş olan PRİMİTİF HÜCRE ile de temsil edilebilir.
Şekil 2. 2. Kübik Ve Rombohedral Hücrelerde Gösterilmiş Olan, Yüz Merkezli Kübik Nokta Örgü.
Sonuncu hücre rombohedraldir, eksenleri arasındaki α açısı 600 dir ve eksenlerinden biri kübik hücrenin eksen uzunluğunun 1/ katıdır. Her kübik hücrenin kendisine ait dört örgü noktaları vardır ve birinci hücrenin hacmi, ikincinin dört katıdır. Bununla beraber genel olarak arombohedral hücreden ziyade kübik hücreyi kullanmak daha uygun olur. Çünkü bu hücre örgünün sahip olduğu kübik simetriği derhal gösterir.
Eğer primitif olmayan örgü hücreleri kullanılırsa, orijinden örgü içinde herhangi bir noktaya giden vektör bu takdirde birim hücre vektörlerinden tam olmayan katları kadar bileşenlere sahip olur. Bir hücre içindeki herhangi bir örgü noktasının mevkii bu noktanın koordinatları vasıtasıyla verilebilir. Eğer birim hücrenin orijinden verilen noktaya giden bileşenleri vektörün bileşenleri x, y ve z birden küçük kesirler olmak üzere ise bu takdirde noktanın koordinatları x, y, z olur.
Buna göre Şekil 2. 2 deki A noktası orijini olarak alındığında koordinatları 0 0 0 dır. B, C ve D noktalarının kübik eksenlere göre koordinatları da sırasıyla 0, ½, ½; ½, 0, ½ ve ½, ½, 0 ‘dır. E noktasının koordinatı da ½, ½, 1 ‘dir ve D noktasından vektörü kadar mesafede bulunduğu için D‘nin eşdeğeri olan bir noktadır.
Şu noktayı belirtelim ki mesela cisim merkezine ait bir noktanın koordinatı, birim hücre ister kübik, ister tetragonal veya ortorumbik olsun ve büyüklüğü ne olursa olsun daima ½, ½, ½ ‘dir.
Bir noktanın mevki koordinatına, mesela ½, ½, ½ ye orijindeki bir noktaya tatbik edilen bir OPERATÖR GÖZÜ ile de bakabiliriz. Öyle ki bu operatör “tatbik” edilince orijindeki nokta ½, ½, ½ mevkiine hareket eder veya ötelenir, son mevki kolayca ½, ½, ½ operatörü ile 0 0 0 mevki koordinatının toplanması ile bulunur. Bu manada 0 0 0, ½ ½ ½ mevkilerine “cisim merkezi ötelemeleri” denir. Çünkü bunlar orijindeki bir noktaya tatbik edildiği vakit cisim merkezli hücreye ait iki nokta mevkiini hasıl ederler. Benzer şekilde yüz merkezli hücreye ait 0 0 0, 0 ½ ½ , ½ 0 ½, ½ ½ 0‘dan ibaret dört nokta mevkiine YÜZ MERKEZLİ ÖTELEMELERİ denir.
vektörleriyle tanımlanan paralelkenar prizmanın İLKEL HÜCRE (Primitif hücre) olarak tanımlanabilmesi için aşağıdaki şartların yerine getirilmiş olması gerekir. Bu hücre;
Tüm uzayı tam anlamıyla doldurabilmeli,
Minimum hacimli hücre olmalı,
Sadece bir örgü noktası içermelidir.
Bu şartları yerine getiren hücrenin vektörlerine de İLKEL ÖTELEME VEKTÖRLERİ denir. Bir başka ilkel hücre seçimine daha sahibiz ki bu hücreye Wigner – Seitz ilkel hücresi denir.
WIGNER–SEITZ İLKEL HÜCRESİ : Bir ilkel hücre şu yöntemle de seçilebilir:
1. Verilen bir örgü noktasının en yakın komşularıyla birleştiren tüm doğru parçalarını çizin,
2. Bu doğruların orta dikmeleri olan doğruları (veya üç boyutta düzlemleri) çizin. Böylece oluşan en küçük alanlı (hacimli) bölge Wigner-Seitz ilkel hücresi olur.
Şekil 2. 3. Wigner – Seitz İlkel Hücresi
Şekil 2. 4. İki Boyutta Bir Uzay Örgüsünün Örgü Noktaları.
Buradaki her vektör çifti örgünün öteleme vektörü olabilirler.
Ancak ve örgü öteleme vektörü olamazlar. Çünkü bu ikisinin tüm katlarını toplayarak bir = öteleme vektörü oluşturamayız.
Mevcut herhangi bir kristali tanımlamanın en önemli yolu, kendisini değişmez (invariant) bırakan simetri işlemleridir. Bu simetri işlemlerine NOKTA SİMETRİ İŞLEMLERİ denir. Kristal yapıları, bu nokta simetri işlemleriyle tanımlayabiliriz.
Kristali tanımlamada sadece ilkel hücre seçimi değil, ilkel olmayan bir birim hücre seçimi de gerekli olur. Kristali tanımlayacak olan nokta simetri işleminin Bravais örgü simetrisine uygun olması şarttır. Bir başka deyişle, bir Bravais örgüsüne her nokta simetri işlemi uygulanamaz, sadece Bravais örgüsünün simetrisine uygun olan nokta simetri işlemleri ile kristal tanımlıdır. Bu açıdan bakıldığında, iki ve üç boyutta uzay örgüsü (Bravais örgüsü) ilkel hücre olmak zorunda olmayan çözüm verici birim hücrelerle boşluksuz doldurulabilir. İki boyuttaki uzay örgüsü (Bravais örgüsü) kaç türlü olabilir? İki boyutta toplam Bravais örgüsü beştir: Eğik, dikdörtgen, merkezli dikdörtgen, kare ve hektagonal örgü.
2.3. Kristallerde Simetri
Kristallerde “Simetri Merkezi”, “Simetri Ekseni” ve “Simetri Düzlemi” vardır. Bunlara “Simetri Elemanları” adı verilir. Simetri düzlemleri; bir kristali birbirinin aynı, iki yarıma böler. Bunların her biri, bir cisimle bunun aynadaki görüntüsü gibidir. Bu düzlemin iki yanında, eşit uzaklıkta, birbirine benzer nokta, kenar, yüzey ve köşelere rastlanır. Bunlar aşağıdaki şekillerde görülmektedir.
Simetri eksenleri; kristalin içinden geçtiği düşünülen imgesel eksenlerdir. Bir kristal bu eksenler etrafında 3600 çevrilince birbirine benzeyen yüz, kenar ve köşeler 2, 3, 4 veya 6 kez tekrarlanır. Bu tekrarlama ne kadar ise kristal o kadar “DÖNÜMLÜ” (örneğin 4 dönümlü, 6 dönümlü) ismini alır. Kristalografide 5 dönümlü yoktur.
3600, dönüm (n) e bölünürse “Dönme açısı” (α) bulunur. α = 360 / n.
Örnek : Tetragonal şekilli zirkon (C) eksenin etrafında çevrilecek olursa birbirine benzeyen yüzler 4 kez tekrarlanır. Yani n = 4 ‘tür.
Buna göre dönme açısı = 360 / n = 900 - α bulunur.
Şekil 2. 5. Kristallerde Simetri Düzlemi (A), Simetri Ekseni (B) Ve Simetri Merkezi (D).
SİMETRİ MERKEZİ, paralel yüzlü kristallerin içinde bulunan bir noktadır. Buradan iki tarafa, eşit olarak uzatılan doğruların her biri kristalin aynı değerli kısımlarına rastlar (Şekil 2: 5 c)
Tam yüzeyli (Holoedri) kristallerin simetri elemanları (simetri düzlemi, simetri ekseni ve simetri merkezi) aşağıdaki Tablo 3. ‘de gösterilmiştir.
Tablo 3. Tam Yüzeyli Kristal Sistemlerinde
Simetri Düzlemi, Simetri Ekseni ve Simetri Merkezi Sayıları
Sistem Simetri Düzlemi Simetri Ekseni Simetri Merkezi
Kübik
Hekzagonal
Romboedrik
Tetragonal
Ortorombik
Monoklinik
Triklinik 9
7
3
5
3
1
O 13(3 + 4 +6〇)
7(1◯, 6〇)
4 (1, 3〇)
5(1 , 4〇)
3(3〇)
1 (1〇)
O 1
1
1
1
1
1
1
Meriyedri (noksan yüzeyli) kristallerde ise bu adetler 1/2 ~ 1/3 arasında azalır.
a. ÖTELEME SİMETRİSİ : Bu simetri işlemi örgü öteleme vektörü ile yapılır.
b. YANSIMA SİMETRİSİ : Bir düzleme göre yapılan simetri işlemlerine YANSIMA SİMETRİSİ denir.
Yansıma işlemi, bir cismin bir düz aynadaki görüntüsünün oluşmasına benzerdir. m harfi ile gösterilir. Bir kübik yapı için mümkün ayna simetri işlemlerinden ikisini Şekil 2. 6. da görmekteyiz.
Şekil 2. 6. Bir Kübik Yapı İçin Ayna Düzlemleri
(a) Kübün Yüzeylerine Paralel Ayna Düzlemi (b) Kübün Köşegen Ayna Simetri Düzlemi.
2.4. Kristal Elemanları
Kristal Şekillerinde bulunan yüzey, kenar ve köşelere kristal elemanları denir.
1. YÜZEYLER : Üçgen, dörtgen (kare, dikdörtgen), paralel eşkenar dörtgen, deltoid, paralel kenar, trapez (yamuk), beşgen, altıgen ve diğer poligonlardır).
2. KENARLAR : İki yüzeyin kesişmesinden oluşan doğrulardır. Kristalin alt ve üst uçlarında (kutuplarında), birleşen kenara kutup kenarı, diğerlerine ise yerine göre orta veya yan kenarlar denir.
3. KÖŞELER : Üç veya daha fazla kenarların birleşmesinden meydana gelir. Alt ve üst uçtaki köşelere KUTUP denir.
Kristallerin bütün yüzey, kenar, köşeleri arasında bir ilişki mevcuttur. Bunu ilk olarak Eular (1758) ortaya atmıştır. Bu ilişki şöyledir:
Yüzeyler + Köşeler = 2 + Kenarlar
2.5. Kristal Geometrisi
Kristaller yöne bağlı özelliklerine göre simetrik ve asimetriktirler. Kristallerdeki başlıca simetri unsurları şunlardır:
2.5.1. Dönme Ekseni (Simetri Ekseni)
Makroskobik olarak tanınan kristal özellikleri ve simetri durumu uzay şebekesindeki birim hücre içinde mevcuttur. Bunlar 2, 3, 4, 6 dönümlü simetri şeklinde olup, 5, 7, 8 dönümlü simetri şeklinde olmaz.
Bir kristal 3600 döndürüldüğünde aynı kristal unsuru, 1800 döndürüldüğünde iki dönümlü simetri ekseni, 1200 de üç dönümlü simetri ekseni, 900 tekrarlanırsa 4 dönümlü simetri ekseni, 600 de bir tekrarlanırsa 6 dönümlü simetri ekseni var denir.
→ İki dönümlü 1800 de bir gelir.
→ İki dönümlü 1200 de bir gelir.
→ İki dönümlü 900 de bir gelir.
→ İki dönümlü 600 de bir gelir.
2.5.2. Ayna Düzlemi (Simetri Düzlemi)
Ayna düzlemi, kristal içerisinde öyle bir düzlemdir ki kristali iki çeşit parçaya böler. Bu iki parçadan biri diğerinin aynadaki görünüşü gibidir. “M” rumuzu ile gösterilir (Mirror – ayna). Bu düzlemin her iki tarafında kristal unsurları ve açılar aynı değerdedir. O halde bu düzlem aynı zamanda simetri düzlemidir.
Simetri ekseninde olduğu gibi ayna düzlemi de çeşitli değerlerde olabilir. Bir kristal aralıksız 9 tane ayna düzlem ihtiva edebilir. Açılar, 900, 600, 450 ve 300 ‘dir.
2.5.3. Simetri Merkezi
Kristal içerisinde alınan öyle bir noktadır ki, bu noktadan her iki tarafa uzatılan doğruların, rastladığı unsurlar morfolojik ve fizyolojik olarak aynıdır. Aynı değerde değillerse simetri merkezi değildir.[i] rumuzu ile gösterilir. (inversion → Ters dönme).
Şekil 2. 7. Kristallerde Görülen Değişik Sayılı Dönme Eksenleri
2.6. Doğada Rastlanan Kristaller
1. Kübik
2. Hekzagonal
3. Romboedrik
4. Tetragonal
5. Ortorombik
6. Monoklinik
7. Triklinik
Sistemlerinden birinde kristallenirler. Bazı bilginler romboedrik sistemi hekzagonal’ın bir yarım şekli olarak düşünürler ve bir arada incelerler.
2.6.1. Kübik Sistem
Bu sistemin birbirine eşit üç kristal sistemi vardır. (a1 = a2 = a3) Eksenler arasındaki açı 900 dir. Simetri düzlemi 9 tanedir.
Kristaller ya basit 6 yüzlü küp şeklinde (Kaya tuzu, Flarit, Galen gibi) yada 8, 12, 24, 48 yüzlü birleşik Şekillerde, küpten ayrı görünüştedirler ( Manyetit, Grena, Lösit, Pirit). (Şekil 2. 1 ve Şekil 2. 2 ‘deki gibi)
Şekil 2. 8. Kübik Sistemin Karakteristik Bazı Şekilleri. (a)Oktaedr, (b) Rombuslu Dodokaedr, (c) Deltoidikozi Tetraedr
.
Şekil 2. 9. Piritin Doğada En Çok Rastlanan Kristal Şekilleri.
Yüzleri Çizikli Ve Birbirine Dik Olan Küp (a), 12 Yüzlü Pentegon Piritoedr (b), Kübün Bileşik Şekilleri (c, dD, eE) Ve Girik İkizi.
Şekil 2. 10. Kübik Sistem. Kristal eksenleri (a), Simetrik Eksenler (b) ve (c)
Şekil 2. 11. Kübik Sistemde Simetri Eksenleri
Aşağıdaki şekillerde 7 sistemin temel şekilleri görülmektedir. Eksenler bu temel şekillerin içinde birleşirler ve bu temel şekillerden “Bileşik Şekillere” (Şekil 2. 5) de görüldüğü gibi geçilir. Bu şekilde, bileşik şekil anlamı kolayca anlaşılır ve diğer sistemlerdeki kristallerin bileşik şekillerinin oluş mekanizması çıkartılabilir.
Şekil 2. 12. Kübik Temel Şekilden Bileşik Şekillerin Meydana Gelişi. (a) Küp; (b) Küp ve Oktaedr Yüzleri; (c) Oktaedr Yüzlerin Büyümesi ve Sonra Oktaedrin Oluşu (Şekil 2. 1’e bak).
Şekil 2. 13. Kübik Sistem
2.6.2. Hekzagonal Sistem
Şekil 2. 14. Hekzagonal Sistem
4 kristal ekseni vardır. Üç tanesi birbirine eşit (a1, a2, a3) ve yatay aralarındaki açı 600 dir. Dördüncü eksen diğerlerine dik ve farklı büyüklüktedir. 7 simetri düzlemi vardır. Bu sistemdeki mineraller prizma veya piramit şeklinde olurlar. 3, 6, 12 yüzlü veya bileşik şekiller halinde bulunurlar. Kuvars Turmalin, Apatit, Beril bu sistemde kristallenir.
Şekil 2. 15. a) Hekzagonal Sistemde Kristal Eksenleri
Şekil 2. 16. b) Hekzagonal Sistemde Simetri Eksenleri c) Hekzagonal Sist. Simetri Düzlemleri
2.6.3. Trigonal Sistem
Şekil 2. 17. Trigonal (Romboedrik) Sistem
4 kristal ekseni vardır. Üçü birbirine eşit ve yatay (a1 = a2 = a3) dür; yatay eksenlerin aralarındaki açılar 600 dir. 4. eksen diğerlerine dik ve farklıdır (c). Kristalde 6 tane eşkenar yüz vardır (Şekil 2.5). ve kristale (C) ekseni boyunca bastırılarak oluşturulmuş bir küp gözüyle bakılabilir. Bu sisteme en tipik örnek kalsit kristalleridir. Bu sistemin hekzagonalden farkı simetri elemanlarının ondan az oluşudur. Romboedrin 2 tane simetri düzlemi ve 4 tane simetri ekseni vardır.
Şekil 2. 18. Romboedrik Sistem. (a) Romboedrik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.4. Tetragonal Sistem
Şekil 2. 19. Tetragonal Sistem
İkisi eşit ve yatay, biri dik ve farklı 3 tane kristal ekseni vardır. (a1 = a2 ≠ c) dir. Eksenler arasındaki açı 900 dir. Simetri düzlemi ve simetri ekseni 5 ‘er tanedir.
Kristalleri prizma, piramit veya bileşik Şekil 2. halinde bulunur. En güzel örnek: Zirkon, idokros, kasıterittir).
Şekil 2. 20. Tetragonal Sistem. (a) Tetragonal Sistemde Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.5. Ortorombik Sistem
Birbirinden farklı büyüklükte üç kristal ekseni vardır . (a ≠ b ≠ c) üçü de birbirine diktir. Simetri ekseni ve simetri düzlemi 3’er tanedir. Simetri elemanları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Prizma ve piramit şeklinde bulunur. Örnek: Olivin, Baritin, Topuz.
Şekil 2. 21. Ortorombik Sistem. (a) Ortorombik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.6. Monoklinik Sistem
Birbirinden farklı 3 kristal ekseni vardır (a ≠ b ≠ c). (b) ile (c) ve (a) ile (b) arasındaki açı aynı α = λ = 900 dir. (a) ekseni ile (c) ekseni arasındaki (β) açısı 900 den farklıdır. (β ≠ 900 ); yani (a) ekseni eğiktir. Simetri ekseni ve düzlemleri birer tanedir (mono: bir, klinas: eğik demektir).
Örnek : Ortokloz, Hornblend, Piroksen, Jips.
Şekil 2. 22. Monoklinik Sistem. (a) Monoklinik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Ekseni (c) Simetri Düzlemi
Şekil 2. 23. Monoklinal Sistem
2.7. Parametre (Rasyonellik) Kanunu
Yüzeyin uzay içerisindeki yeri, üç nokta yahut bir nokta bir doğru veya belirli bir yüzeyle sabitleştirilmiştir. Bu matematik sabitleştirmenin bir koordinat sistemine ihtiyacı vardır. Meselâ; α-kükürdü alalım. Kristal yüzeylerinin birbirleri ile mukayesesini yapabilmek için kristal uygun bir biçimde yönlendirilir. Yani kristal içerisine üç eksenli koordinat sistemini monte edebiliriz.
İlk olarak C. Samuel Weiss (1809) tarafından eksenlerin uzunluk ilişkileri (a
c oranı) ve bu eksenlerin meydana getirdiği α,β,γ açıları için “KRİSTAL DEVİMİ” ortaya konulmuştur.
Eksenlerin koordinat sisteminde yazımını aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
a ............ ekseni öne doğru
b ............ ekseni sağa doğru
c ............. ekseni yukarı
dik gelecek bir biçimde koordinat sistemi meydana getirilir.
Şekil 2. 24. Bir Kristalde Görülen Eksen Açı İlişkileri
Bu eksen ilişkileri ile kristalin yüzeyleri arasındaki bağlantıyı açıklayabilmek için, kristal eksenlerine monte edilir.
Kristal yüzeyleri, bu eksenleri doğrudan doğruya keser. Kesmez ise yüzeyler ekseni kesinceye kadar uzatılır. Yani büyütülür. Böyle düşünülerek yapıldığında eksenler orijin noktasından itibaren belirli uzaklıkta kesildiği görülür. İşte bu uzunluklara PARAMETRE adı verilir.
Kristalde bulunan bir yüzeyin, kristal eksenleri ile münasebetini bulmak için parametrelerin MUTLAK değerlerinin bilinmesine lüzum yoktur. Önemli olan yüzeyin yönü ve koordinat eksenindeki parametrelerin oranıdır. Buna PARAMETRE ORAN adı verilir.
Şekil 2. 25. Koordinat Eksenleri Üzerinde Belirtilmiş Parametreler.
Burada a ekseni A, b ekseni B, c ekseni C’de keser.
OA = a
OB = b
OC = c parametresini verir.
Demek oluyor ki, ABC yüzeyi a : b : c parametrelerinin orantısı ile belirlenir.
Bir yüzeyin parametreleri belli sayılarla çarpılıp veya bölünmesi ile değerlerinde bir değişiklik olmayıp yüzeyin yeri paralel olarak değişir. Yani ya büyür yada küçülür.
ABC yüzeyinin parametre oranı a : b : c (m = 1) buna paralel olan A, B, C yüzeyinin parametre oların ma : mb : c (m>1) dir. Yani A, B, C yüzeyi büyümüştür. A2 B2 C2 yüzeyi (m<1) ABC yüzeyine göre daha küçülmüştür. ABC yüzeyine paralel olmayan yüzeyin parametre oranı ma : nb : pc şeklindedir. Böylece A2 B2 C2 yüzeyleri eksenleri farklı mesafelerde (H, K, L) kesmiştir. ABC yüzeyi birim yüzeydir. Kristaldeki bütün yüzeylerin parametreleri kristaldeki birim yüzeye bağlıdır ve rasyonel sayılarla gösterilir.
Bir birim yüzeyin parametre oranı a : b : c şeklinde olursa, başka bir yüzeyin parametre oranı ma : nb ; pc şeklinde olur. Burada n, n, p sayıları rasyonel katsayılardır. Birim yüzeyin katsayılarının her biri bire eşittir. Başka yüzeylerin katsayıları 1/2, 1/3, ¼ veya 2, 3, 4 ....... n gibi olurlar. Buna PAREMETRE KANUNU denilir.
Yüzeyler Weiss’a ve Miller’e göre sembollenirler. Weiss’e göre, bir yüzeyin sembolü, o yüzeyin parametrelerinin, birim yüzeyin parametrelerinin tam sayılı herhangi bir katı olarak verilmesi ile elde edilmiş olur. Bu sembol genel olarak ma : nb : pc ‘dir. M, n, p rumuzları mümkün olan bütün basit ve ∞ da dahi olmak üzere tam sayılardır. Weiss’in rumuzu ile kristal yüzeyi en basit ve en kolay bir şekilde anlaşılır.
Miller rumuzunda ise verilen yazma tarzı, hesaplamada kolaylığı sağlayan bir tarz olması nedeniyle en çok kullanılır. MİLLER İNDİSİ Weiss sembolünün katsayılarından, bunların ters değerlerini almak ve neticeyi tam sayılar yapmak suretiyle elde edilir. bu işaretlemede a : b : c parametreleri yerine (hkl) yazılır. Burada
semboldeki sıraya göre en küçük ortak katsayı olan n, n, p ile çarpılarak tam sayılar yapılırsa, hkl karşılık olan np : mp : mn olarak elde edilir. Mesela; Weiss’e göre 2a : 3b : 4c sembolü, Miller’e çevirirsek katsayılar 1/2, 1/3, 1/4 olur. En küçük ortak katsayı 12 olduğundan,
bulunur. (643) elde edilmiş olur.
Bu sonucu Weiss’e çevirmek için ters işlem yapılır. (643) değerlerinin tersi alınır. elde edilir. Tam sayılara çevrilirse 2, 3, 4 elde edilir.
Bu sayıları yerine koyarsak 2a : 3b : 4c elde edilir. burada her katsayıya ve her indise doğrultu işareti verilmek suretiyle eksenler koordinatının muhtelif oktanlarda yüzeylerin durumu ortaya çıkar.
Bu işaretler Miller’de rakamlar üzerine konulur. Artı işaretleri koymak gerekmez. Weiss’te ise işaretler rakamların soluna konulur. Mesela; -2a: 3b : -4c gibi.
Miller indisi dünya kristalografik eserlerinde kullanılmakta olup, diğerleri terk edilmiştir.
2.8. Kristalografik Doğrultular ve Düzlemler
Kristal bilgileriyle ilgili bilgilendirmelerde, atomların bazı özel kristalografik düzlem ve doğrultularını kullanmayı tercih ederiz.
Bir örgü içindeki herhangi bir doğrunun doğrultusu önce orijinden verilen doğruya bir paralel çizip ve sonra orijinden çizilen doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını vererek belirtilebilir. Doğru birim hücrenin orijininden ve koordinatları uvw olan noktadan geçsin; u v w nin tam sayılar olması şart değildir (Bu doğru 2u 2 v 2w, 3u 3v 3w vs. noktalarından geçecektir). Köşeli parantez içinde yazılmıştır [u v w] doğrunun doğrultusunun indisleridir. Bunlar aynı zamanda bu doğruya paralel herhangi bir doğrunun da indisleridir. Çünkü örgü sonsuzdur ve orijin herhangi bir noktada alınabilir. u v w ‘nin değerleri ne olursa olsun hepsini birden bölmek veya çarpmak suretiyle en küçük ve tam sayılara dönüştürülür: Bu sebeple indislerinin hepsi aynı doğrultuyu temsil etmekle beraber [1 1 2) tercih edilen şekildir. Negatif indisler sayının üstüne bir çizgi konularak yazılır. Mesela [ŭ v w] gibi. Doğrultu indisleri Şekil 2. 26 ‘da gösterilmiştir.
Birbirini simetri ile bağlı doğrultulara bir formun doğrultuları denir ve bunların bir takımı indislerden birini açılı parantez içine almak suretiyle gösterilir. Mesela [1 1 1], [1 ī 1] ve [ ī 1 1] den ibaret dört cisim köşegeninin hepsi <1 1 1> sembolü ile gösterilir.
Şekil 2. 26.. Doğrultu İndisleri
Parametre (rasyonellik) kanununda da anlatıldığı üzere, örgü içindeki durumlar İngiliz kristalografi Miller tarafından kullanılmış olan sisteme göre sembolik olarak gösterilebilir.
Bir örgü içindeki DÜZLEMİN yönlenmesinin tarifi için MİLLER indisleri kullanılmaktadır. “Miller İndisleri, düzlemin eksenleri kestiği noktaların orijine olan kesirsel mesafelerinin tersidir.”
Mesela; bir düzlemin Miller indisi (hkl) ise, ki daima parantez içinde yazılır, düzlem eksenleri kesirsel mesafelerde keser ve eksen uzunlukları a, b, c ise düzlem eksenleri hakikatte Şekil 2. 27 ‘de görüldüğü gibi mesafelerinde keser. Herhangi bir örgü içindeki herhangi bir düzleme paralel ve eşit mesafeli bir düzlemler takımı vardır ve bunlardan biri orijinden geçer. (hkl) Miller indisleri, takım içinde orijine en yakın olanı belirtir, fakat takım içinde diğer bir düzlemi veya takımın hepsini birden temsil ettiği de söylenebilir. Şekil 2. 27 (b) de gösterilmiş olan düzlemin Miller indislerini aşağıdaki Şekil 2.de tayin edebiliriz.
Eksen uzunlukları ....................... 4A 8A 3A
Kesen uzunlukları ....................... 2A 6A 3A
Kesirsel kesen uzunlukları ............... 1
Miller İndisleri 2 1
6 4 3
a b c
Şekil 2. 27. Miller İndisleriyle Düzlem Gösterilişi
Miller indisleri yukarıda görüldüğü gibi daima kesirden kurtarılır. Bir düzlem bir eksene paralel ise bu eksen üzerindeki kesirsel kesen uzunluğu sonsuz ve mütekabil Miller indisi de sıfır alınır. Eğer bir düzlem bir ekseni negatif tarafta keserse bu eksene tekabül eden indis negatiftir ve indisin üzerine bir çizgi konularak yazılır. İndisleri biri diğerinin negatifi olan düzlemler, mesela (2TO) ve (2TO) birbirine paraleldir ve orijine nazaran zıt taraflarda bulunurlar (nh nk nl) düzlemleri (hkl) düzlemlerine paraleldirler ve mesafeleri sonuncuların 1/n ‘dir.
Aynı düzlem iki farklı takıma ait olabilir ve birinin Miller indisleri öbürünün katlarıdır; mesela aynı düzlem (210) takımına ve (420) takımına aittir ve hakikatte (210) takımının düzlemleri (420) takımındaki düzlemlerin her iki tanesinden biridir.
Şekil 2. 28. Örgü Düzlemlerinin Miller İndisleri
2.9. İdeal Olmayan Kristal Yapılar
Klasik kristalografinin ideal kristal tanımlaması, özdeş birimlerin uzayda düzgün bir şekilde tekrarı olarak verilir. Ancak, sonlu sıcaklıklarda bu idealin tam anlamıyla doğru olmadığı bir gerçektir. Bunun yanı sıra, mutlak sıfır sıcaklıkta özdeş atomların minimum enerjili yerleşme durumlarında yapının bu ideal kristal yapıya sahip olması gerektiği yönünde de elimizde bir delil yoktur. Acaba yapının denge konumuna ulaşabilmesi için makul bir zaman mı vermek gerekir? Bu her zaman yeterli olmaz. Netice olarak, doğada bulunan pek çok kristal yapının tam periyodik olmadığını biliyoruz.
fcc (ABCABCABC...) ve hcp (ABABAB......) yapıların paketlenmesinden farklılaşmayla karşımıza iki boyutta halen kristal olarak görebileceğimiz, ancak üç boyutta cam yapı olarak bakabileceğimiz rastgele sıralama yapısı ortaya çıkar.
Günümüz teknolojik gelişmelerinde önemli bir yere sahip metal ve özellikle alaşımların, kristal yapı çözümlemesinde kristalografik açıdan yaklaşım oldukça önemlidir. Kristalografik temel bilgilerin görsel, teorik ve deneysel açıdan sunulması öğretim sistemleri için vazgeçilmez bir unsurdur. Bu çalışmam ile Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Kütüphanesinin Katıhal Fiziği açısından teorik ve görsel açıdan zenginleştirilmesi hedeflenmiştir. Ayrıca bu çalışmadan deneysel çalışmalarda da kısmen yararlanılabilir.
Üç boyutlu uzayı tamamen saran kristal yapıların tüm özelliklerinin ortaya çıkarılması, yeni kristallerin üretilmesi, var olan kristallerin nasıl oluştuğunun anlaşılması, kristal yapıların yüzeylerinin nasıl genişlediğinin anlaşılması açısından ve yeni bilimsel gelişmelere adım atılması için sadece kristal yapılar üzerinde çalışma yapacak bir laboratuarın kurulması gerektiği kanaatine vardım. Zira gördüm ki kristal yapılar çok geniş ve çok zengin bir araştırma alanı.
Yeni keşiflere ve bilimsel çalışmalara giden yol elbette ki önce konu hakkındaki teorik bilgiye bilmekten ve sonra onu laboratuarda deneylerle desteklemekten, konu hakkında yeni ve değişik deneyler yapmaktan geçmektedir. Teorik bilgi olmadan deneysel çalışmalar yapmamız imkansız olduğu gibi, deneysiz de teorik bilginin fazla faydalı olmayacağı kanaatindeyim.
Özellikle kristal yapılar gibi karmaşık ve anlaşılması zor olan bu fiziksel çalışma alanının kesinlikle deneylerle daha anlaşılır ve öğrenciler tarafından sevilen bir çalışma alanı haline getirilmesi son derece lüzumludur. Bu açıdan bakıldığında, bu çalışmamın deneysel çalışmalara giden bir vesile olmasını temenni eder, kristalografi alanında çalışan herkese faydalı olmasını dilerim.
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 1.1. Kristal Yapısı. 1
Şekil 1.2. Küp Kafesleri. 3
Şekil 2. 1. Bravais Örgüsü 7
Şekil 2. 2. Yüz Merkezli Kübik Nokta Örgü. 11
Şekil 2. 3. Wigner – Seitz İlkel Hücresi 13
Şekil 2. 4. İki Boyutta Bir Uzay Örgüsünün Örgü Noktaları. 13
Şekil 2. 6. Bir Kübik Yapı İçin Ayna Düzlemleri 16
Şekil 2. 7. Kristallerde Görülen Değişik Sayılı Dönme Eksenleri 18
Şekil 2. 8. Kübik Sistemin Karakteristik Bazı Şekilleri. 19
Şekil 2. 9. Piritin Doğada En Çok Rastlanan Kristal Şekilleri. 19
Şekil 2. 10. Kübik Sistem. Kristal Eksenleri ve Simetrik Eksenler 20
Şekil 2. 12. Kübik Temel Şekilden Bileşik Şekillerin Meydana Gelişi. 20
Şekil 2. 13. Kübik Sistem 21
Şekil 2. 14. Hekzagonal Sistem 21
Şekil 2. 15. Hekzagonal Sistemde Kristal Eksenleri 22
Şekil 2. 16. Hekzagonal Sistemde Simetri Eksenleri ve Düzlemleri 22
Şekil 2. 17. Trigonal (Romboedrik) Sistem 22
Şekil 2. 18. Romboedrik Sistem. 23
Şekil 2. 19. Tetragonal Sistem 23
Şekil 2. 20. Tetragonal Sistem. 24
Şekil 2. 21. Ortorombik Sistem. 24
Şekil 2. 22. Monoklinik Sistem. 25
Şekil 2. 23. Monoklinal Sistem 25
Şekil 2. 24. Bir Kristalde Görülen Eksen Açı İlişkileri 26
Şekil 2. 25. Koordinat Eksenleri Üzerinde Belirtilmiş Parametreler. 27
Şekil 2. 26. Doğrultu İndisleri 30
Şekil 2. 27. Miller İndisleriyle Düzlem Gösterilişi 31
Şekil 2. 28. Örgü Düzlemlerinin Miller İndisleri 31
Şekil 2. 29. Çok Rastlanan Bazı Metallerin Strüktürleri. . 33
Şekil 2. 30. HCP yapı. . 35
Şekil 2. 31. Hekzagonal Sıkı Paket Edilmiş Yapı (HCP) 36
Şekil 2. 32. Yüz Merkezli Kübik 36
Şekil 2. 33. α – Uranyumunun Yapısı 37
Şekil 2. 34. CsCl – NaCl Birim Hücreleri 39
Şekil 2. 35. Metun (CH4) Modelleri 40
Şekil 2. 36. Koordinasyon Numarası 41
Şekil 2. 37. Elmas Yapısı 43
Şekil 2. 38 Koordinasyon Hesaplanması 43
Şekil 3. 39. İkizlenmiş Taneler 49
Şekil 3. 40. FCC Örgüde İkizleme Bandı. 50
Şekil 3. 41. Nokta Hataları 54
Şekil 3. 42. Kenar Dislokasyonuna Ait Kesitin Şematik Gösterimi 56
Şekil 3. 43 Dislokasyon Enerjisi. 57
Şekil 3. 44. Vida Dislokasyonu 57
Şekil 3. 45. Kayma Hareketiyle Dislokasyon Oluşumu 58
Şekil 3. 46. Disl. Civar. Zorlar ve Kristalin Gösterimi 59
Şekil 3. 47. Eğilmiş Küçük Açı Sınırı 60
Şekil 3. 48. Dislokasyon Kayınca bağların Disl. Çizgisi Boyunca Kırılması. 63
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ i
ŞEKİLLER LİSTESİ ii
İÇİNDEKİLER v
BÖLÜM 1 1
1. GİRİŞ 1
BÖLÜM 2 4
2. KRİSTALOGRAFİYE GENEL BAKIŞ 4
2.1. Metallerin Kristal Yapısı 4
2.2. Kristalografik Terimler ve Kavramlar 5
2.2.1. Kristal Sistemleri 5
2.2.2. Örgüler 6
2.2.3. Uzay Grup Gösterimi (Notasyonu) 7
2.2.4. Yapı Prototipi 8
2.2.5. Atomun Konumu 8
2.2.6. Eşdeğer Konumlar 8
2.2.7. Alaşım Kompozisyonunun Etkisi 9
2.2.8. Düzenli ve Düzensiz Süper Yapılar 9
2.2.9. Hücre Başına Düşen Atom Sayısı 10
2.2.10. Kristal 10
2.2.11. Primitif ve Primitif Olmayan Hücreler 11
2.3. Kristallerde Simetri 14
2.4. Kristal Elemanları 16
2.5. Kristal Geometrisi 16
2.5.1. Dönme Ekseni (Simetri Ekseni) 17
2.5.2. Ayna Düzlemi (Simetri Düzlemi) 17
2.5.3. Simetri Merkezi 17
2.6. Doğada Rastlanan Kristaller 18
2.6.1. Kübik Sistem 19
2.6.2. Hekzagonal Sistem 21
2.6.3. Trigonal Sistem 22
2.6.4. Tetragonal Sistem 23
2.6.5. Ortorombik Sistem 24
2.6.6. Monoklinik Sistem 25
2.7. Parametre (Rasyonellik) Kanunu 26
2.8. Kristalografik Doğrultular ve Düzlemler 29
2.9. İdeal Olmayan Kristal Yapılar 32
2.10. Kristal Yapı 32
2.11. Tertip Numarası (Coordination Number) 40
BÖLÜM 3 45
3. BAZI ÖZEL KRİSTALLER VE KRİSTAL KURLARI 45
3.1. Atom Büyüklükleri ve Koordinasyon 45
3.2. Kristal Şekli 47
3.3. İkizleme Kristaller 48
3.3.1. Tavlama İkizlemeleri 49
3.3.2. Deformasyon İkizlemeleri 51
3.4. Kristal Kusurları 52
3.4.1. Sıfır Boyutlu Hatalar 54
3.4.2. Tek Boyutlu Kristal Hatalar (Çizgi Hataları : Dislokasyonlar) 56
3.4.3. İki Boyutlu Hatalar 60
3.4.4. Üç Boyutlu Hatalar 62
3.5. Dislokasyonların Önemi 63
4. KAYNAKLAR 64
BÖLÜM 1
1. GİRİŞ
Kristaller; Valans bağları, her atom için belli sayı ve açıda komşu atomları bir araya getirdiğinden, moleküllerde bir yapı uygunluğu vardır. Böylece, bir lineer polimer boyunca bir tekerrür görülebilir.
Mühendislik malzemelerinin çoğundaki atom diziminde üç boyutlu tekrarlanan bir atom düzeni görülür. Böyle yapılara KRİSTAL denir.
Şekil 1.1. Kristal Yapısı.
Sofra tuzunun küp yüzeyleri. NaCl kristal yüzeyleridir. MgO yapısı da bunun gibidir.
Kristallerdeki üç boyutlu kalıbın tekrarındaki sebep malzeme iç yapısındaki atom koordinasyonudur. Buna ilaveten kalıp bazen kristalin dış şeklini de kontrol eder. Kar kristalinin altı köşeli dış yapısı belki de buna en iyi örnektir. Kıymetli taşların, kuvars (SiO2) kristallerinin ve bayağı safra tuzunun (NaCl) düz yüzeyleri iç kristal düzenlerinin dışta görülen belirtileridir. Her birisinde dış yüzeyler değiştirilse bile iç atom düzeni değişmez. Örneğin, kuvars kristali aşınıp kum haline geldiği zaman kristalin iç yapısı değişmez. Aynı şekilde, kar kristallerinde olduğu gibi kırılmış buz parçalarında da su moleküllerinin hekzagonal (altı köşeli) düzeni vardır.
Kristal yapısında, atom diziminin etkisini göstermek için sodyum klorürü alalım. Na+ ile Cl- ‘ün iyon boyut oranı 0,98/1,91 veya 0,54 dür. Aşağıdaki tablodan görüyoruz ki bu oran koordinasyon sayısı altı için uygundur.
Tablo 1. Atom Koordinasyonu ve Atom Boyut Oranı
Koordinasyon Numarası Minimum Atom Yarıçap Oranı
3 fold 0,155
4 0,225
6 0,414
8 0,732
12 1,0
Şekil 1. 1’e bakarak aşağıdaki hususları belirtebiliriz:
1. Na+ ve Cl- iyonlarından her birisinin altı komşusu vardır (Kalıp üç boyutlu olarak tanımlanırsa).
2. Na+ ve Cl- iyonları sayıları birbirine eşittir (Kalıp tamamlanırsa).
3. Kenar boyları (2r + 2R) olan düzlem yüzeyli küçük bir küp meydana gelmiştir. r ve R Na+ ile Cl- iyonlarının yarı çaplarıdır.
4. “Birim Kafes” adını verdiğimiz bu küçük küpteki kalıp düzeni NaCl ‘ün diğer bütün küpleri için aynıdır. Böylece tekrarlanan birim kafesinin yapı düzenini bilirsek kristal kapı düzenini tarif edebiliriz.
5. Na – Na ve Cl – Cl atomlar arası mesafe her ikisinde de Na-Cl arasındaki mesafenin 2 çarpanı kadar büyüktür. Bu fark önemlidir. Ayrı atomlar arasındaki Coulomb çekici kuvvetlerinin aynı cins atomlar arası Coulomb itici kuvvetlerinden daha yüksek olduğunu gösterir.
Atomların dizimi yedi ana kalıptan birisi şeklinde olabilir. Bu kalıplar, atom düzlemlerinin kesişmesiyle oluşan eşit uzay parçaları biçimleri ile sıkıca bağıntılıdır. Bunların en basit ve düzenli olanı, birbirine dikey birbirinden eşit uzaklıkta üç paralel düzlem sisteminin oluşturdukları küp serisidir. Uzayın bu şekilde bölünmesini Şekil 1.2 ‘de görüldüğü gibi birbirinden eşit uzaklıkta dik açılı eksenlerin meydana getirmesiyle de açıklanabilir.
Şekil 1.2. Küp Kafesleri.
Uzay, Birbirinden eşit uzaklıkta üç takım paralel düzlemler tarafından bölünmüştür. x, y, ve z eksenleri karşılıklı olarak birbirine dikeydirler. Her kesit noktası diğerlerinin eşdeğerindedir.
Yedi ana kalıbı oluşturan uzay bölme metotları Tablo 1. ‘de gösterilmişti.
Düzlemlerin geometrik olarak uzayı bölümünün bütün çeşitleri bu yedi sistem içindedir. Günlük metallerin çoğu (çinko ve magnezyum hekzagonal sistemdedir) ile MgO, TiC ve Ba TiO3 gibi bazı seramik bileşikleri kübik yapıdadır.
Bu anlatılanların her birisi ayrıntılarıyla incelenecektir.
BÖLÜM 2
2. KRİSTALOGRAFİYE GENEL BAKIŞ
2.1. Metallerin Kristal Yapısı
Katıhal fiziğinin başlıca ilgi alanı kristaller ve bu kristallerdeki elektronlardır. Bir kristal kararlı bir ortamda büyümeye başladığında meydana gelen yapı, birbirine özdeş yapıtaşlarının art arda eklenmesiyle oluşur. Bu yapıtaşları tek atomlar veya atom grupları olabilir.
MİNERALLERİN KRİSTAL ŞEKİL 2.LERİ
MİNERALLER
Şekil 2.siz (Amorf) Gizli Kristalli Düzgün Şekil 2.li
(Kriptokristalin) Kristaller
Kristallerin her türlü özellikleri ile kristalografi bilimi uğraşır.
Kristaller yüz, kenar ve köşelerle çevrilidir. Bunlara “KRİSTAL UNSURLARI” denir ve bunlar kristalin atomik iç yapıları ile ilgilidir.
Bir sıvıda, bir eriyikte, bir buharda bulunan bir maddeden bir mineral meydana gelirken, normal koşullar altında billûrlar, karakteristik kristal şeklinde (belli yüz, kenar ve köşeleri olan yani kristal unsurlarını taşıyan bir yapı şeklinde) kristallenmeye başlarlar.
Kristaller yüzlerle çevrilmiş ve bu suretle kenarlar, açılar, köşeler ve kristal şekilleri meydana gelmiş olur.
Kristallerde yüzlerle kenarlar arasında matematik bağıntılar vardır. Bu bağıntıları belirtmek için bir koordinat sistemi kabul edilmiştir. Bunun içinde kristallerin ortasında koordinat eksenleri düşünülmüştür.
Kristallerde, aynı cins yüzlerin aralarında yaptıkları açılar değişmez.
Kristaller simetri elemanları (simetri düzlemi, simetri ekseni ve simetri merkezi) nın adedine ve içlerinde bulunduğu düşünülen eksenlerin durumlarına göre 7 sistemde toplanmıştır. Bunların isimleri ve özellikleri aşağıda kısaca açıklanmıştır. Daha sonraki sayfalarda ayrıntılı şekilde incelenecektir.
Kimyada atom ağırlıkları bir element karakterize ettiği gibi, kristalografide de “Parametre” denilen sayılar aynı işi görür. 7 kristal sisteminde eksenlerin üzerindeki birimler değişiktir. Örneğin kübik sistemde bunlar birbirine eşit, triklinik sistemde farklıdır.
2.2. Kristalografik Terimler ve Kavramlar
Burada açıklanacak terim ve kavramlar kristalografi bilimi ile uğraşanlar tarafından kesinlikle bilinmesi gereken son derece lüzumlu bilgilerdir.
KRİSTAL YAPI : Bir kristalin içerisindeki atomların düzenlenimi, onun kristal yapısı olarak adlandırılır. Bu atomların düzenlenimi uzayı dolduracak aynı birim hücrelerin varlığı ile mümkündür.
BİRİM HÜCRE : Üç boyutlu uzayda kenarları ile kristalin eksenlerini oluşturan bir paralel kenardır. Birim hücre atom düzenleniminin açıklanmasına yarayan bir birimdir. Kristaller, her biri büyüklükçe, şekilce ve yönelimce benzer olan birim hücrelerden oluşur. Bir birim hücre için, örgü sınırlaması simetri düşüncesine ve elverişliliğine bağlı olarak bir dereceye kadar keyfilik taşır.
2.2.1. Kristal Sistemleri
Kristal yapının temel taşı kabul edilen birim hücrelerin kenar uzunluklarına ve kenar eksenler arası açının değerine göre yedi farklı eksen sistemi oluşturulabilir. Bu eksen sistemleri kristalografide kullanılmaktadır. Bunlar: Triklinik monoklinik, ortorombik, tetroponal, hekzagonal, rombohedral ve kübik.
a, b, c kenar uzunlukları (uygun kristal eksenleri boyunca) A0 cinsinden (1A0 = 10-8 cm) ifade edilmektedir. Birim hücrelerin yüzeyleri; yüzeyler b ve c, c ve a veya a ve b eksenlerinden ibaret ise sırasıyla A, B veya C harflerine karşılık getirilir. Eksenler arasındaki açılar alfa (α), beta (β) ve gama (γ) dır.
A yüzeyi ile a ekseninin yaptığı açı α, B yüzeyi ile b ekseninin yaptığı açı β ve C yüzeyi ile c ekseninin yaptığı açı γ ‘dir.
Tablo 2. ‘de eksenler ve açılar ile ilgili bilgiler 7 kristal sistemi için verilmiştir.
Hücrelerin kenar uzunlukları ve açılar genelde ÖRGÜ PARAMETRELERİ olarak adlandırılır.
Tablo 2.
Kristal Sistemi Kenar Uzunluğu Eksenler Arası Açı Örnekler
Triklinik a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 900 K2CrO7
Monoklinik a ≠ b ≠ c α = γ = 900 ≠ β β -S; CuSO4 2H20
Ortorambik a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900 α -S; Ga; Fe3C
Tetraponal a = b ≠ c α = β = γ = 900 β-Sn; TiO2
Hekzagonal a = b ≠ c α = β = 900
γ = 1200 Zn; Cd; NiAs
Rombohedral a = b = c α = β = γ ≠ 900 As; Sb; Bi
Kübik a = b = c α = β = γ = 900 Cu; Ag; Au; Fe
2.2.2. Örgüler
Bir örgü (uzay örgüsü) mükemmel bir kristalde düzenli periyodik noktaların bir dizisidir. Uzayda bu noktalar (örgü noktaları), özdeş kompozisyonlu, özdeş yığılımlı ve özdeş yönelimli atom veya atom gruplarından ibarettir.
Atomlar, taban merkezli yüzey merkezli veya cisim merkezli bir hücrenin her bir köşesinde ve hücre yüzeylerinin öteki rastgele konumlarında veya hücre civarında bulunabilir.
Üç boyutta noktasal simetri grubu 14 farklı uzay örgüsünü öngörür. En genel örgü türü triklinik olup 13 tane de özel örgü vardır. Bunların hepsi kenarların eşit veya eşit olmayan uzunlukları ve eksenler arası açıların bileşimden türetilir.
Şekil 2. 1. Bravais Örgüsü
2.2.3. Uzay Grup Gösterimi (Notasyonu)
Bir kristalin uzay örgüsü ve simetrisinin sembolik bir tanımlamasıdır. Bir uzay grubu için bu gösterim, kristalin simetrisini tanımlayan harf ve sayılardan oluşmuş bir uzay örgüsü sembollerini içerir. Bu simetri gösterimleri burada tartışılmamaktadır fakat çeşitli kitaplarda tanımlanmış olduğunu ve x ışını kristalografisi ile ilgili tablolarda bulunduğunu biliyoruz. Her bir kristal, muhtemel 230 uzay grubundan en az birine aittir.
2.2.4. Yapı Prototipi
Sınıflandırmaya ve kimliklendirmeye yardım için, her bir yapı tipi, o yapıya sahip temsili bir maddenin (bir element veya fazın) adıyla verilmektedir.
Aynı yapı tipi olan birim hücreler, prototipe veya birbirine benzer boyutlara haiz olmayabilir. Çünkü, aynı tipli atomik düzeni olan farklı malzemeler, büyüklükçe farklı atomlara sahiptir. Bu da a, b ve c kenar uzunluklarının farklı olmasına sebep olurlar. Aynı şekilde atomun x, y ve z pozisyon koordinatları farklı malzemeler için değişiktir.
2.2.5. Atomun Konumu
Bir birim hücredeki atom veya örgü noktasının konumu üç koordinatla ifade edilir. Hücrenin bir köşesindeki orijinden atom sırasıyla a, b ve c eksenlerine paralel olan üç uzaklık. Bu uzaklık A0 cinsinden değil de, sırasıyla a, b ve c kenar uzunluklarının kesirleri olarak ifade edilir. böylece ½ , 0, 0, a kenarının ortasında, ½, ½, 0 C yüzünün ortası ve ½, ½, ½ birim hücre hacminin merkezidir. x, y ve z harfleri uygun olmayan kesirlerin koordinatları veya element veya alaşım fazları arasında değişen koordinatlar için kullanılır.
İlkel bir birim hücrenin yalnızca köşelerinde ÖRGÜ NOKTALARI vardır.
Cisim merkezli bir birim hücrenin köşelerinde (0,0,0 noktasında) ve cisim merkezinde (1/2, ½, ½ noktasında) ÖRGÜ NOKTASI vardır.
Yüzey merkezli birim hücrenin köşelerinde ve bütün altı yüzün merkezlerinde ÖRGÜ NOKTALARI vardır. Örgü noktaları: 0,0,0; 0, ½, ½, 0; ½, 0, ½ noktalarıdır.
Bir koordinat için negatif bir değer harfin üzerine bir çizgi konularak belirtilir.
2.2.6. Eşdeğer Konumlar
Her bir birim hücrede, kristal simetrisinden dolayı, eşdeğer olan konumlar vardır. Bu koordinatların özel değerlere sahip olabildiği (1/2, 0, 0) ve ayrıca x, y ve z deki atomlar için çoğunlukla doğrudur. Eşdeğer konumların bir dizisinin her bir noktasında aynı tür atom bulunacaktır (Mükemmel bir kristalde).
Bir örnek olarak, arsenik için hekzagonal hücrelere dayalı hücrede eşdeğer noktalar (0, 0, 0; 1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, 1/3) + 0, 0, z; + 0, 0, z ’dir.
Koordinatların eklenmesiyle elde edilen birim hücredeki altı atom için tam liste 0, 0, z; 1/3, 2/3, 2/3 + z; 0, 0, z; 1/3, 2/3, 2/3 – z; 2/3, 1/3, 1/3 – z ’dir.
2.2.7. Alaşım Kompozisyonunun Etkisi
Genelde bir bileşim örgü parametrelerinin değişmesini sağladığı halde stokiyometrik değerini değiştirmeyebilir. 0, 1/2 , 1/4, 1/8 gibi atom koordinatları genellikle değişmez, ancak x, y ve z değerleri bir faz diyagramının tek faz bölgesi arasındaki bileşimlerle değişebilir.
2.2.8. Düzenli ve Düzensiz Süper Yapılar
Katılar, eşdeğer pozisyonlarda birden fazla atom bulundurabilir. A ve B atomlu bir alaşımda verilen bir atomik pozisyonda bir A atomunun (veya bir B atomunun) bulunma ihtimali alaşım kompozisyonunun bir fonksiyonudur. Basit alaşımlarda bu ihtimal, A atomlarının (veya B atomlarının) alaşım içindeki yüzdesine eşittir.
Şayet A ve B atomlarınca bireysel sitelerin işgali rastgele ise veya yaklaşık öyleyse bu tür katılar DÜZENSİZ dir denir. Bir katının düzensiz olma yatkınlığı yüksek sıcaklıklarda en yüksektir.
Daha düşük sıcaklıklarda A atomlarının bazı konumlara yerleşmesi ve B atomlarının diğer yerlere yerleşmesi yatkınlığı termal itekleme hareketinin rastgele olmasını aşabilir ve kısmi yada tam düzen sağlayabilir. Bu olay meydana geldiğinde birim hücre düzensiz haldekinden daha büyük olur (genellikle bir kenar, ikikenar veya bütün üç kenar boyca ikiye katlanır); bir hücredeki atom sayısı orantılı olarak daha fazlalaşır, kristal düzenli bir SÜPERYAPI veya SÜPER ÖRGÜ diye adlandırılır. Buna bir örnek, β – Cu Zn beta pirinç alaşımı, yüksek sıcaklıklarda düzensiz bcc yapılı A2 tipi sergilerken daha düşük sıcaklıklarda β – Cu Zn olarak gösterilen düzenli bcc yapılı B2 tipi sergiler.
2.2.9. Hücre Başına Düşen Atom Sayısı
Bir birim hücredeki atom sayılarının belirlenmesi için aşağıdaki durumların incelenmesi gerekir:
a. Diğer birim hücreler ile paylaşılan atomlar.
b. Bu atomların her birini paylaşan birim hücre sayısı.
c. Tamamen hücre içinde kalan atomlar.
Hekzagonal kristallerden başka, bir birim hücrenin, her sekiz köşesindeki atomlar, bu köşeyi paylaşan 8 hücre tarafından paylaşılır ve bu yüzden hücre başına bir atom olarak sayılır (1/8 x 8 = 1).
Yüzey merkezli bir hücrede her altı yüzde bir atom vardır. Bu atomların her biri iki hücre tarafından paylaşılır ve bundan dolayı bir yüzdeki bir atom hücre için yarı atom olarak sayılır ve altı yüz için, her hücre başına üç atom demektir. Böylece bir yüzey merkezli hücrenin toplam 4 atomu vardır. Cisim merkezli bir hücre içinse cisim merkezinden bir ve köşelerinden bir olmak üzere toplam iki atom vardır.
Sıkı paket yapılı hekzagonal birim hücrenin her bir köşesindeki atom, temas halindeki altı hücre tarafından paylaşılır. Sıkı paket yapılı birim hücrenin yüzey merkezinde bir atom bulunur. Bundan başka, birim hücrenin her yüzü, hücrede üç atom olacak şekilde konumlanan bir atomun bir parçasını içine alır. Böylece, sıkı paket yapılı hekzagonal birim hücre altı atom ihtiva eder.
2.2.10. Kristal
Bir kristal üç boyutlu uzayda periyodik olarak tekrarlanan atomlardan meydana gelmiş bir katı olarak tarif edilebilir. Böyle olunca kristaller gazlar ve sıvılardan esaslı bir Şekil 2.de farklıdırlar. Çünkü gazlar ve sıvılardaki atomik düzenleme PERİYODİK OLMA esas şartına sahip değildir. Mamafih bütün katılar kristal değildir. Cam gibi bazıları amorftur ve atomların herhangi bir muntazam iç düzenlenmesi mevcut değildir. Hakikatte bir amorf katı ile bir sıvı arasında esaslı fark yoktur. Ve amorf katıya, kristalden farklı olarak “aşırı soğumuş sıvı” gözü ile bakılır.
2.2.11. Primitif ve Primitif Olmayan Hücreler
Herhangi bir nokta örgüde bir birim hücre sonsuz şekilde seçilebilir ve her birim hücre bir yada daha fazla örgü noktası ihtiva edebilir. Şu nokta önemlidir ki bir örgüde birim hücre diye bir şey “mevcut” değildir. Biz bunları hayalimizde tasarlıyoruz ve bu sebeple bize nasıl uygun geliyorsa öyle seçebiliriz . (Şekil 2.1) de gösterilen itibari hücreler sadece uygun oldukları ve örgünün simetri elemanlarına sahip oldukları için seçilmiştir. On dört Bravais örgüsünden herhangi biri için primitif birim hücre seçilebilir. Mesela (Şekil 2.1) de gösterilmiş olan yüz merkezli kübik örgü, kesik çizgilerle gösterilmiş olan PRİMİTİF HÜCRE ile de temsil edilebilir.
Şekil 2. 2. Kübik Ve Rombohedral Hücrelerde Gösterilmiş Olan, Yüz Merkezli Kübik Nokta Örgü.
Sonuncu hücre rombohedraldir, eksenleri arasındaki α açısı 600 dir ve eksenlerinden biri kübik hücrenin eksen uzunluğunun 1/ katıdır. Her kübik hücrenin kendisine ait dört örgü noktaları vardır ve birinci hücrenin hacmi, ikincinin dört katıdır. Bununla beraber genel olarak arombohedral hücreden ziyade kübik hücreyi kullanmak daha uygun olur. Çünkü bu hücre örgünün sahip olduğu kübik simetriği derhal gösterir.
Eğer primitif olmayan örgü hücreleri kullanılırsa, orijinden örgü içinde herhangi bir noktaya giden vektör bu takdirde birim hücre vektörlerinden tam olmayan katları kadar bileşenlere sahip olur. Bir hücre içindeki herhangi bir örgü noktasının mevkii bu noktanın koordinatları vasıtasıyla verilebilir. Eğer birim hücrenin orijinden verilen noktaya giden bileşenleri vektörün bileşenleri x, y ve z birden küçük kesirler olmak üzere ise bu takdirde noktanın koordinatları x, y, z olur.
Buna göre Şekil 2. 2 deki A noktası orijini olarak alındığında koordinatları 0 0 0 dır. B, C ve D noktalarının kübik eksenlere göre koordinatları da sırasıyla 0, ½, ½; ½, 0, ½ ve ½, ½, 0 ‘dır. E noktasının koordinatı da ½, ½, 1 ‘dir ve D noktasından vektörü kadar mesafede bulunduğu için D‘nin eşdeğeri olan bir noktadır.
Şu noktayı belirtelim ki mesela cisim merkezine ait bir noktanın koordinatı, birim hücre ister kübik, ister tetragonal veya ortorumbik olsun ve büyüklüğü ne olursa olsun daima ½, ½, ½ ‘dir.
Bir noktanın mevki koordinatına, mesela ½, ½, ½ ye orijindeki bir noktaya tatbik edilen bir OPERATÖR GÖZÜ ile de bakabiliriz. Öyle ki bu operatör “tatbik” edilince orijindeki nokta ½, ½, ½ mevkiine hareket eder veya ötelenir, son mevki kolayca ½, ½, ½ operatörü ile 0 0 0 mevki koordinatının toplanması ile bulunur. Bu manada 0 0 0, ½ ½ ½ mevkilerine “cisim merkezi ötelemeleri” denir. Çünkü bunlar orijindeki bir noktaya tatbik edildiği vakit cisim merkezli hücreye ait iki nokta mevkiini hasıl ederler. Benzer şekilde yüz merkezli hücreye ait 0 0 0, 0 ½ ½ , ½ 0 ½, ½ ½ 0‘dan ibaret dört nokta mevkiine YÜZ MERKEZLİ ÖTELEMELERİ denir.
vektörleriyle tanımlanan paralelkenar prizmanın İLKEL HÜCRE (Primitif hücre) olarak tanımlanabilmesi için aşağıdaki şartların yerine getirilmiş olması gerekir. Bu hücre;
Tüm uzayı tam anlamıyla doldurabilmeli,
Minimum hacimli hücre olmalı,
Sadece bir örgü noktası içermelidir.
Bu şartları yerine getiren hücrenin vektörlerine de İLKEL ÖTELEME VEKTÖRLERİ denir. Bir başka ilkel hücre seçimine daha sahibiz ki bu hücreye Wigner – Seitz ilkel hücresi denir.
WIGNER–SEITZ İLKEL HÜCRESİ : Bir ilkel hücre şu yöntemle de seçilebilir:
1. Verilen bir örgü noktasının en yakın komşularıyla birleştiren tüm doğru parçalarını çizin,
2. Bu doğruların orta dikmeleri olan doğruları (veya üç boyutta düzlemleri) çizin. Böylece oluşan en küçük alanlı (hacimli) bölge Wigner-Seitz ilkel hücresi olur.
Şekil 2. 3. Wigner – Seitz İlkel Hücresi
Şekil 2. 4. İki Boyutta Bir Uzay Örgüsünün Örgü Noktaları.
Buradaki her vektör çifti örgünün öteleme vektörü olabilirler.
Ancak ve örgü öteleme vektörü olamazlar. Çünkü bu ikisinin tüm katlarını toplayarak bir = öteleme vektörü oluşturamayız.
Mevcut herhangi bir kristali tanımlamanın en önemli yolu, kendisini değişmez (invariant) bırakan simetri işlemleridir. Bu simetri işlemlerine NOKTA SİMETRİ İŞLEMLERİ denir. Kristal yapıları, bu nokta simetri işlemleriyle tanımlayabiliriz.
Kristali tanımlamada sadece ilkel hücre seçimi değil, ilkel olmayan bir birim hücre seçimi de gerekli olur. Kristali tanımlayacak olan nokta simetri işleminin Bravais örgü simetrisine uygun olması şarttır. Bir başka deyişle, bir Bravais örgüsüne her nokta simetri işlemi uygulanamaz, sadece Bravais örgüsünün simetrisine uygun olan nokta simetri işlemleri ile kristal tanımlıdır. Bu açıdan bakıldığında, iki ve üç boyutta uzay örgüsü (Bravais örgüsü) ilkel hücre olmak zorunda olmayan çözüm verici birim hücrelerle boşluksuz doldurulabilir. İki boyuttaki uzay örgüsü (Bravais örgüsü) kaç türlü olabilir? İki boyutta toplam Bravais örgüsü beştir: Eğik, dikdörtgen, merkezli dikdörtgen, kare ve hektagonal örgü.
2.3. Kristallerde Simetri
Kristallerde “Simetri Merkezi”, “Simetri Ekseni” ve “Simetri Düzlemi” vardır. Bunlara “Simetri Elemanları” adı verilir. Simetri düzlemleri; bir kristali birbirinin aynı, iki yarıma böler. Bunların her biri, bir cisimle bunun aynadaki görüntüsü gibidir. Bu düzlemin iki yanında, eşit uzaklıkta, birbirine benzer nokta, kenar, yüzey ve köşelere rastlanır. Bunlar aşağıdaki şekillerde görülmektedir.
Simetri eksenleri; kristalin içinden geçtiği düşünülen imgesel eksenlerdir. Bir kristal bu eksenler etrafında 3600 çevrilince birbirine benzeyen yüz, kenar ve köşeler 2, 3, 4 veya 6 kez tekrarlanır. Bu tekrarlama ne kadar ise kristal o kadar “DÖNÜMLÜ” (örneğin 4 dönümlü, 6 dönümlü) ismini alır. Kristalografide 5 dönümlü yoktur.
3600, dönüm (n) e bölünürse “Dönme açısı” (α) bulunur. α = 360 / n.
Örnek : Tetragonal şekilli zirkon (C) eksenin etrafında çevrilecek olursa birbirine benzeyen yüzler 4 kez tekrarlanır. Yani n = 4 ‘tür.
Buna göre dönme açısı = 360 / n = 900 - α bulunur.
Şekil 2. 5. Kristallerde Simetri Düzlemi (A), Simetri Ekseni (B) Ve Simetri Merkezi (D).
SİMETRİ MERKEZİ, paralel yüzlü kristallerin içinde bulunan bir noktadır. Buradan iki tarafa, eşit olarak uzatılan doğruların her biri kristalin aynı değerli kısımlarına rastlar (Şekil 2: 5 c)
Tam yüzeyli (Holoedri) kristallerin simetri elemanları (simetri düzlemi, simetri ekseni ve simetri merkezi) aşağıdaki Tablo 3. ‘de gösterilmiştir.
Tablo 3. Tam Yüzeyli Kristal Sistemlerinde
Simetri Düzlemi, Simetri Ekseni ve Simetri Merkezi Sayıları
Sistem Simetri Düzlemi Simetri Ekseni Simetri Merkezi
Kübik
Hekzagonal
Romboedrik
Tetragonal
Ortorombik
Monoklinik
Triklinik 9
7
3
5
3
1
O 13(3 + 4 +6〇)
7(1◯, 6〇)
4 (1, 3〇)
5(1 , 4〇)
3(3〇)
1 (1〇)
O 1
1
1
1
1
1
1
Meriyedri (noksan yüzeyli) kristallerde ise bu adetler 1/2 ~ 1/3 arasında azalır.
a. ÖTELEME SİMETRİSİ : Bu simetri işlemi örgü öteleme vektörü ile yapılır.
b. YANSIMA SİMETRİSİ : Bir düzleme göre yapılan simetri işlemlerine YANSIMA SİMETRİSİ denir.
Yansıma işlemi, bir cismin bir düz aynadaki görüntüsünün oluşmasına benzerdir. m harfi ile gösterilir. Bir kübik yapı için mümkün ayna simetri işlemlerinden ikisini Şekil 2. 6. da görmekteyiz.
Şekil 2. 6. Bir Kübik Yapı İçin Ayna Düzlemleri
(a) Kübün Yüzeylerine Paralel Ayna Düzlemi (b) Kübün Köşegen Ayna Simetri Düzlemi.
2.4. Kristal Elemanları
Kristal Şekillerinde bulunan yüzey, kenar ve köşelere kristal elemanları denir.
1. YÜZEYLER : Üçgen, dörtgen (kare, dikdörtgen), paralel eşkenar dörtgen, deltoid, paralel kenar, trapez (yamuk), beşgen, altıgen ve diğer poligonlardır).
2. KENARLAR : İki yüzeyin kesişmesinden oluşan doğrulardır. Kristalin alt ve üst uçlarında (kutuplarında), birleşen kenara kutup kenarı, diğerlerine ise yerine göre orta veya yan kenarlar denir.
3. KÖŞELER : Üç veya daha fazla kenarların birleşmesinden meydana gelir. Alt ve üst uçtaki köşelere KUTUP denir.
Kristallerin bütün yüzey, kenar, köşeleri arasında bir ilişki mevcuttur. Bunu ilk olarak Eular (1758) ortaya atmıştır. Bu ilişki şöyledir:
Yüzeyler + Köşeler = 2 + Kenarlar
2.5. Kristal Geometrisi
Kristaller yöne bağlı özelliklerine göre simetrik ve asimetriktirler. Kristallerdeki başlıca simetri unsurları şunlardır:
2.5.1. Dönme Ekseni (Simetri Ekseni)
Makroskobik olarak tanınan kristal özellikleri ve simetri durumu uzay şebekesindeki birim hücre içinde mevcuttur. Bunlar 2, 3, 4, 6 dönümlü simetri şeklinde olup, 5, 7, 8 dönümlü simetri şeklinde olmaz.
Bir kristal 3600 döndürüldüğünde aynı kristal unsuru, 1800 döndürüldüğünde iki dönümlü simetri ekseni, 1200 de üç dönümlü simetri ekseni, 900 tekrarlanırsa 4 dönümlü simetri ekseni, 600 de bir tekrarlanırsa 6 dönümlü simetri ekseni var denir.
→ İki dönümlü 1800 de bir gelir.
→ İki dönümlü 1200 de bir gelir.
→ İki dönümlü 900 de bir gelir.
→ İki dönümlü 600 de bir gelir.
2.5.2. Ayna Düzlemi (Simetri Düzlemi)
Ayna düzlemi, kristal içerisinde öyle bir düzlemdir ki kristali iki çeşit parçaya böler. Bu iki parçadan biri diğerinin aynadaki görünüşü gibidir. “M” rumuzu ile gösterilir (Mirror – ayna). Bu düzlemin her iki tarafında kristal unsurları ve açılar aynı değerdedir. O halde bu düzlem aynı zamanda simetri düzlemidir.
Simetri ekseninde olduğu gibi ayna düzlemi de çeşitli değerlerde olabilir. Bir kristal aralıksız 9 tane ayna düzlem ihtiva edebilir. Açılar, 900, 600, 450 ve 300 ‘dir.
2.5.3. Simetri Merkezi
Kristal içerisinde alınan öyle bir noktadır ki, bu noktadan her iki tarafa uzatılan doğruların, rastladığı unsurlar morfolojik ve fizyolojik olarak aynıdır. Aynı değerde değillerse simetri merkezi değildir.[i] rumuzu ile gösterilir. (inversion → Ters dönme).
Şekil 2. 7. Kristallerde Görülen Değişik Sayılı Dönme Eksenleri
2.6. Doğada Rastlanan Kristaller
1. Kübik
2. Hekzagonal
3. Romboedrik
4. Tetragonal
5. Ortorombik
6. Monoklinik
7. Triklinik
Sistemlerinden birinde kristallenirler. Bazı bilginler romboedrik sistemi hekzagonal’ın bir yarım şekli olarak düşünürler ve bir arada incelerler.
2.6.1. Kübik Sistem
Bu sistemin birbirine eşit üç kristal sistemi vardır. (a1 = a2 = a3) Eksenler arasındaki açı 900 dir. Simetri düzlemi 9 tanedir.
Kristaller ya basit 6 yüzlü küp şeklinde (Kaya tuzu, Flarit, Galen gibi) yada 8, 12, 24, 48 yüzlü birleşik Şekillerde, küpten ayrı görünüştedirler ( Manyetit, Grena, Lösit, Pirit). (Şekil 2. 1 ve Şekil 2. 2 ‘deki gibi)
Şekil 2. 8. Kübik Sistemin Karakteristik Bazı Şekilleri. (a)Oktaedr, (b) Rombuslu Dodokaedr, (c) Deltoidikozi Tetraedr
.
Şekil 2. 9. Piritin Doğada En Çok Rastlanan Kristal Şekilleri.
Yüzleri Çizikli Ve Birbirine Dik Olan Küp (a), 12 Yüzlü Pentegon Piritoedr (b), Kübün Bileşik Şekilleri (c, dD, eE) Ve Girik İkizi.
Şekil 2. 10. Kübik Sistem. Kristal eksenleri (a), Simetrik Eksenler (b) ve (c)
Şekil 2. 11. Kübik Sistemde Simetri Eksenleri
Aşağıdaki şekillerde 7 sistemin temel şekilleri görülmektedir. Eksenler bu temel şekillerin içinde birleşirler ve bu temel şekillerden “Bileşik Şekillere” (Şekil 2. 5) de görüldüğü gibi geçilir. Bu şekilde, bileşik şekil anlamı kolayca anlaşılır ve diğer sistemlerdeki kristallerin bileşik şekillerinin oluş mekanizması çıkartılabilir.
Şekil 2. 12. Kübik Temel Şekilden Bileşik Şekillerin Meydana Gelişi. (a) Küp; (b) Küp ve Oktaedr Yüzleri; (c) Oktaedr Yüzlerin Büyümesi ve Sonra Oktaedrin Oluşu (Şekil 2. 1’e bak).
Şekil 2. 13. Kübik Sistem
2.6.2. Hekzagonal Sistem
Şekil 2. 14. Hekzagonal Sistem
4 kristal ekseni vardır. Üç tanesi birbirine eşit (a1, a2, a3) ve yatay aralarındaki açı 600 dir. Dördüncü eksen diğerlerine dik ve farklı büyüklüktedir. 7 simetri düzlemi vardır. Bu sistemdeki mineraller prizma veya piramit şeklinde olurlar. 3, 6, 12 yüzlü veya bileşik şekiller halinde bulunurlar. Kuvars Turmalin, Apatit, Beril bu sistemde kristallenir.
Şekil 2. 15. a) Hekzagonal Sistemde Kristal Eksenleri
Şekil 2. 16. b) Hekzagonal Sistemde Simetri Eksenleri c) Hekzagonal Sist. Simetri Düzlemleri
2.6.3. Trigonal Sistem
Şekil 2. 17. Trigonal (Romboedrik) Sistem
4 kristal ekseni vardır. Üçü birbirine eşit ve yatay (a1 = a2 = a3) dür; yatay eksenlerin aralarındaki açılar 600 dir. 4. eksen diğerlerine dik ve farklıdır (c). Kristalde 6 tane eşkenar yüz vardır (Şekil 2.5). ve kristale (C) ekseni boyunca bastırılarak oluşturulmuş bir küp gözüyle bakılabilir. Bu sisteme en tipik örnek kalsit kristalleridir. Bu sistemin hekzagonalden farkı simetri elemanlarının ondan az oluşudur. Romboedrin 2 tane simetri düzlemi ve 4 tane simetri ekseni vardır.
Şekil 2. 18. Romboedrik Sistem. (a) Romboedrik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.4. Tetragonal Sistem
Şekil 2. 19. Tetragonal Sistem
İkisi eşit ve yatay, biri dik ve farklı 3 tane kristal ekseni vardır. (a1 = a2 ≠ c) dir. Eksenler arasındaki açı 900 dir. Simetri düzlemi ve simetri ekseni 5 ‘er tanedir.
Kristalleri prizma, piramit veya bileşik Şekil 2. halinde bulunur. En güzel örnek: Zirkon, idokros, kasıterittir).
Şekil 2. 20. Tetragonal Sistem. (a) Tetragonal Sistemde Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.5. Ortorombik Sistem
Birbirinden farklı büyüklükte üç kristal ekseni vardır . (a ≠ b ≠ c) üçü de birbirine diktir. Simetri ekseni ve simetri düzlemi 3’er tanedir. Simetri elemanları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Prizma ve piramit şeklinde bulunur. Örnek: Olivin, Baritin, Topuz.
Şekil 2. 21. Ortorombik Sistem. (a) Ortorombik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Eksenleri (c) Simetri Düzlemleri
2.6.6. Monoklinik Sistem
Birbirinden farklı 3 kristal ekseni vardır (a ≠ b ≠ c). (b) ile (c) ve (a) ile (b) arasındaki açı aynı α = λ = 900 dir. (a) ekseni ile (c) ekseni arasındaki (β) açısı 900 den farklıdır. (β ≠ 900 ); yani (a) ekseni eğiktir. Simetri ekseni ve düzlemleri birer tanedir (mono: bir, klinas: eğik demektir).
Örnek : Ortokloz, Hornblend, Piroksen, Jips.
Şekil 2. 22. Monoklinik Sistem. (a) Monoklinik Sistemin Kristal Eksenleri (b) Simetri Ekseni (c) Simetri Düzlemi
Şekil 2. 23. Monoklinal Sistem
2.7. Parametre (Rasyonellik) Kanunu
Yüzeyin uzay içerisindeki yeri, üç nokta yahut bir nokta bir doğru veya belirli bir yüzeyle sabitleştirilmiştir. Bu matematik sabitleştirmenin bir koordinat sistemine ihtiyacı vardır. Meselâ; α-kükürdü alalım. Kristal yüzeylerinin birbirleri ile mukayesesini yapabilmek için kristal uygun bir biçimde yönlendirilir. Yani kristal içerisine üç eksenli koordinat sistemini monte edebiliriz.
İlk olarak C. Samuel Weiss (1809) tarafından eksenlerin uzunluk ilişkileri (a
c oranı) ve bu eksenlerin meydana getirdiği α,β,γ açıları için “KRİSTAL DEVİMİ” ortaya konulmuştur.Eksenlerin koordinat sisteminde yazımını aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
a ............ ekseni öne doğru
b ............ ekseni sağa doğru
c ............. ekseni yukarı
dik gelecek bir biçimde koordinat sistemi meydana getirilir.
Şekil 2. 24. Bir Kristalde Görülen Eksen Açı İlişkileri
Bu eksen ilişkileri ile kristalin yüzeyleri arasındaki bağlantıyı açıklayabilmek için, kristal eksenlerine monte edilir.
Kristal yüzeyleri, bu eksenleri doğrudan doğruya keser. Kesmez ise yüzeyler ekseni kesinceye kadar uzatılır. Yani büyütülür. Böyle düşünülerek yapıldığında eksenler orijin noktasından itibaren belirli uzaklıkta kesildiği görülür. İşte bu uzunluklara PARAMETRE adı verilir.
Kristalde bulunan bir yüzeyin, kristal eksenleri ile münasebetini bulmak için parametrelerin MUTLAK değerlerinin bilinmesine lüzum yoktur. Önemli olan yüzeyin yönü ve koordinat eksenindeki parametrelerin oranıdır. Buna PARAMETRE ORAN adı verilir.
Şekil 2. 25. Koordinat Eksenleri Üzerinde Belirtilmiş Parametreler.
Burada a ekseni A, b ekseni B, c ekseni C’de keser.
OA = a
OB = b
OC = c parametresini verir.
Demek oluyor ki, ABC yüzeyi a : b : c parametrelerinin orantısı ile belirlenir.
Bir yüzeyin parametreleri belli sayılarla çarpılıp veya bölünmesi ile değerlerinde bir değişiklik olmayıp yüzeyin yeri paralel olarak değişir. Yani ya büyür yada küçülür.
ABC yüzeyinin parametre oranı a : b : c (m = 1) buna paralel olan A, B, C yüzeyinin parametre oların ma : mb : c (m>1) dir. Yani A, B, C yüzeyi büyümüştür. A2 B2 C2 yüzeyi (m<1) ABC yüzeyine göre daha küçülmüştür. ABC yüzeyine paralel olmayan yüzeyin parametre oranı ma : nb : pc şeklindedir. Böylece A2 B2 C2 yüzeyleri eksenleri farklı mesafelerde (H, K, L) kesmiştir. ABC yüzeyi birim yüzeydir. Kristaldeki bütün yüzeylerin parametreleri kristaldeki birim yüzeye bağlıdır ve rasyonel sayılarla gösterilir.
Bir birim yüzeyin parametre oranı a : b : c şeklinde olursa, başka bir yüzeyin parametre oranı ma : nb ; pc şeklinde olur. Burada n, n, p sayıları rasyonel katsayılardır. Birim yüzeyin katsayılarının her biri bire eşittir. Başka yüzeylerin katsayıları 1/2, 1/3, ¼ veya 2, 3, 4 ....... n gibi olurlar. Buna PAREMETRE KANUNU denilir.
Yüzeyler Weiss’a ve Miller’e göre sembollenirler. Weiss’e göre, bir yüzeyin sembolü, o yüzeyin parametrelerinin, birim yüzeyin parametrelerinin tam sayılı herhangi bir katı olarak verilmesi ile elde edilmiş olur. Bu sembol genel olarak ma : nb : pc ‘dir. M, n, p rumuzları mümkün olan bütün basit ve ∞ da dahi olmak üzere tam sayılardır. Weiss’in rumuzu ile kristal yüzeyi en basit ve en kolay bir şekilde anlaşılır.
Miller rumuzunda ise verilen yazma tarzı, hesaplamada kolaylığı sağlayan bir tarz olması nedeniyle en çok kullanılır. MİLLER İNDİSİ Weiss sembolünün katsayılarından, bunların ters değerlerini almak ve neticeyi tam sayılar yapmak suretiyle elde edilir. bu işaretlemede a : b : c parametreleri yerine (hkl) yazılır. Burada
semboldeki sıraya göre en küçük ortak katsayı olan n, n, p ile çarpılarak tam sayılar yapılırsa, hkl karşılık olan np : mp : mn olarak elde edilir. Mesela; Weiss’e göre 2a : 3b : 4c sembolü, Miller’e çevirirsek katsayılar 1/2, 1/3, 1/4 olur. En küçük ortak katsayı 12 olduğundan,
bulunur. (643) elde edilmiş olur.
Bu sonucu Weiss’e çevirmek için ters işlem yapılır. (643) değerlerinin tersi alınır. elde edilir. Tam sayılara çevrilirse 2, 3, 4 elde edilir.
Bu sayıları yerine koyarsak 2a : 3b : 4c elde edilir. burada her katsayıya ve her indise doğrultu işareti verilmek suretiyle eksenler koordinatının muhtelif oktanlarda yüzeylerin durumu ortaya çıkar.
Bu işaretler Miller’de rakamlar üzerine konulur. Artı işaretleri koymak gerekmez. Weiss’te ise işaretler rakamların soluna konulur. Mesela; -2a: 3b : -4c gibi.
Miller indisi dünya kristalografik eserlerinde kullanılmakta olup, diğerleri terk edilmiştir.
2.8. Kristalografik Doğrultular ve Düzlemler
Kristal bilgileriyle ilgili bilgilendirmelerde, atomların bazı özel kristalografik düzlem ve doğrultularını kullanmayı tercih ederiz.
Bir örgü içindeki herhangi bir doğrunun doğrultusu önce orijinden verilen doğruya bir paralel çizip ve sonra orijinden çizilen doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını vererek belirtilebilir. Doğru birim hücrenin orijininden ve koordinatları uvw olan noktadan geçsin; u v w nin tam sayılar olması şart değildir (Bu doğru 2u 2 v 2w, 3u 3v 3w vs. noktalarından geçecektir). Köşeli parantez içinde yazılmıştır [u v w] doğrunun doğrultusunun indisleridir. Bunlar aynı zamanda bu doğruya paralel herhangi bir doğrunun da indisleridir. Çünkü örgü sonsuzdur ve orijin herhangi bir noktada alınabilir. u v w ‘nin değerleri ne olursa olsun hepsini birden bölmek veya çarpmak suretiyle en küçük ve tam sayılara dönüştürülür: Bu sebeple indislerinin hepsi aynı doğrultuyu temsil etmekle beraber [1 1 2) tercih edilen şekildir. Negatif indisler sayının üstüne bir çizgi konularak yazılır. Mesela [ŭ v w] gibi. Doğrultu indisleri Şekil 2. 26 ‘da gösterilmiştir.
Birbirini simetri ile bağlı doğrultulara bir formun doğrultuları denir ve bunların bir takımı indislerden birini açılı parantez içine almak suretiyle gösterilir. Mesela [1 1 1], [1 ī 1] ve [ ī 1 1] den ibaret dört cisim köşegeninin hepsi <1 1 1> sembolü ile gösterilir.
Şekil 2. 26.. Doğrultu İndisleri
Parametre (rasyonellik) kanununda da anlatıldığı üzere, örgü içindeki durumlar İngiliz kristalografi Miller tarafından kullanılmış olan sisteme göre sembolik olarak gösterilebilir.
Bir örgü içindeki DÜZLEMİN yönlenmesinin tarifi için MİLLER indisleri kullanılmaktadır. “Miller İndisleri, düzlemin eksenleri kestiği noktaların orijine olan kesirsel mesafelerinin tersidir.”
Mesela; bir düzlemin Miller indisi (hkl) ise, ki daima parantez içinde yazılır, düzlem eksenleri kesirsel mesafelerde keser ve eksen uzunlukları a, b, c ise düzlem eksenleri hakikatte Şekil 2. 27 ‘de görüldüğü gibi mesafelerinde keser. Herhangi bir örgü içindeki herhangi bir düzleme paralel ve eşit mesafeli bir düzlemler takımı vardır ve bunlardan biri orijinden geçer. (hkl) Miller indisleri, takım içinde orijine en yakın olanı belirtir, fakat takım içinde diğer bir düzlemi veya takımın hepsini birden temsil ettiği de söylenebilir. Şekil 2. 27 (b) de gösterilmiş olan düzlemin Miller indislerini aşağıdaki Şekil 2.de tayin edebiliriz.
Eksen uzunlukları ....................... 4A 8A 3A
Kesen uzunlukları ....................... 2A 6A 3A
Kesirsel kesen uzunlukları ............... 1
Miller İndisleri 2 1
6 4 3
a b c
Şekil 2. 27. Miller İndisleriyle Düzlem Gösterilişi
Miller indisleri yukarıda görüldüğü gibi daima kesirden kurtarılır. Bir düzlem bir eksene paralel ise bu eksen üzerindeki kesirsel kesen uzunluğu sonsuz ve mütekabil Miller indisi de sıfır alınır. Eğer bir düzlem bir ekseni negatif tarafta keserse bu eksene tekabül eden indis negatiftir ve indisin üzerine bir çizgi konularak yazılır. İndisleri biri diğerinin negatifi olan düzlemler, mesela (2TO) ve (2TO) birbirine paraleldir ve orijine nazaran zıt taraflarda bulunurlar (nh nk nl) düzlemleri (hkl) düzlemlerine paraleldirler ve mesafeleri sonuncuların 1/n ‘dir.
Aynı düzlem iki farklı takıma ait olabilir ve birinin Miller indisleri öbürünün katlarıdır; mesela aynı düzlem (210) takımına ve (420) takımına aittir ve hakikatte (210) takımının düzlemleri (420) takımındaki düzlemlerin her iki tanesinden biridir.
Şekil 2. 28. Örgü Düzlemlerinin Miller İndisleri
2.9. İdeal Olmayan Kristal Yapılar
Klasik kristalografinin ideal kristal tanımlaması, özdeş birimlerin uzayda düzgün bir şekilde tekrarı olarak verilir. Ancak, sonlu sıcaklıklarda bu idealin tam anlamıyla doğru olmadığı bir gerçektir. Bunun yanı sıra, mutlak sıfır sıcaklıkta özdeş atomların minimum enerjili yerleşme durumlarında yapının bu ideal kristal yapıya sahip olması gerektiği yönünde de elimizde bir delil yoktur. Acaba yapının denge konumuna ulaşabilmesi için makul bir zaman mı vermek gerekir? Bu her zaman yeterli olmaz. Netice olarak, doğada bulunan pek çok kristal yapının tam periyodik olmadığını biliyoruz.
fcc (ABCABCABC...) ve hcp (ABABAB......) yapıların paketlenmesinden farklılaşmayla karşımıza iki boyutta halen kristal olarak görebileceğimiz, ancak üç boyutta cam yapı olarak bakabileceğimiz rastgele sıralama yapısı ortaya çıkar.